.:::. زندگی با ریاضیات .:::.

(( خط راست نه تنها در هندسه ، که در اخلاقیات نیز بهترین و کوتاهترین خط است ))

دانلود MathStudio (نرم افزار موبایل استودیو ریاضی)
ساعت ۱۱:٢٦ ‎ق.ظ روز ۱٧ مهر ۱۳٩۳   کلمات کلیدی: نرم افزار ریاضی ،کاربرد ریاضی ،مفاهیم ریاضی

همراه با نرم افزار بسیار کاربردی و محبوب MathStudio به کارگاه بزرگ ریاضی قدم بگذارید. در این نرم افزار از اعمال ساده مثل جمع و تفریق و اعمال پیچیده تر مثل رادیکال ها و لگاریتم ها و چند جمله ای ها و حتی پیشرفته تر از آن، معادلات چند مجهولی و معادلات دیفرانسیل را می توانید محاسبه کنید. MathStudio یکی از قدرتمند ترین و سریع ترین نرم افزارهای محاسبات ریاضی می باشد. این نرم افزار قابل اجرا بر روی گوشی های اندروید ورژن ۲٫۱ و بالاتر است.

دانلود MathStudio (نرم افزار موبایل استودیو ریاضی)


کتاب ۱۰۴ مسئله ی نظریه ی اعداد
ساعت ۱۱:۱٤ ‎ق.ظ روز ۱٧ مهر ۱۳٩۳   کلمات کلیدی: معرفی کتاب ،مفاهیم ریاضی ،ریاضیدانان

این کتاب شامل ۱۰۴ مسئله از بهترین مسائلی است که در تمرین و سنجش تیم المپیاد ریاضی بین المللی (IMO) ایالات متحده استفاده شده است. این مسائل صرفاً مجموعه های از سؤالات خیلی مشکل نیستند، بلکه به تدریج تکنیک ها و مهارت های دانش آموزان در تئوری اعداد را می سازند.

بخش اول معرفی جامعی از تئوری اعداد و ساختارهای ریاضی آن ارائه می کند. از این بخش می توان به عنوان جزوه ی درسی برای دوره های کوتاه مدت تئوری اعداد استفاده کرد. این کتاب به بهبود دید ریاضی دانش آموزان و آمادگی بهتر آنان برای شرکت در مسابقات مختلف ریاضی کمک می کند. علاوه بر آن با افزایش توانایی دانش آموزان در حل مسائل، سبب غنای آنان در شاخه های مهم نظریه اعداد می شود. این کتاب علاقه ی دانش آموزان را برای مطالعه ی بیشتر در ریاضیات بر می انگیزد…

در این کتاب ابتدا آموزشی مختصر از مباحث نظریه اعداد (شامل بخش پذیری و ب.م.م و ک.م.م اعداد و اعداد اول و تابع ضربی و…) آمده است، سپس ۱۰۴ سوال با پاسخ در دو سطح مبتدی و پیشرفته آمده است.


ساختار کتاب ریاضی چهارم دبستان
ساعت ۸:٢٠ ‎ق.ظ روز ۱٥ بهمن ۱۳٩٢   کلمات کلیدی: اخبار ریاضی ،اخبار آموزش و پرورش ،معرفی کتاب ،مفاهیم ریاضی

کتاب ریاضی چهارم دبستان نیز ساختار ی شبیه کتاب های ریاضی دوم و سوم دبستان دارد. با توجه به نظرات معلمان محترم مبنی بر کاهش حجم و محتوای کتاب های درسی جهت تعمیق و تفهیم بهتر مطالب، برای کتاب ریاضی چهارم دبستان 7 فصل در نظر گرفته شده است.

هر فصل حاوی موارد زیر می باشد:

صفحه عنوانی (1 صفحه):در این صفحه شماره و عنوان فصل به همراه تصاویر مرتبط با آن موضوع و یک دانستنی کوتاه و مرتبط با مفاهیم آن فصل ارائه می شود. 

صفحه حل مسئله (2 صفحه):هر فصل با تعدادی مسئله جهت یادآوری راهبردهای حل مسئله شروع می شود. تعدادی از این مسئله ها زمینه ساز آموزش مفاهیم آن فصل بوده و مورد نظر در انجام فعالیت های آن فصل به کار می رود.

درس ها (4 ×4 صفحه):هرفصل دارای 4 درس است. هر درس شامل فعالیت های آموزشی، کار در کلاس و تمرین می باشد.

مرور فصل (3 صفحه):در پایان هر فصل در این قسمت مطالب، مفاهیم فصل مرور می شود. این قسمت شامل فرهنگ نوشتن، تمرین های دوره ای، سرگرمی و ریاضی، فرهنگ خواندن است.

بنابراین در مجموع هر فصل 22 صفحه و کتاب 156 صفحه خواهد شد.

به طور تقریبی هر درس 4 صفحه ای برای یک هفته در نظر گرفته شده و با توجه به اینکه کتاب 28=4×7 درس دارد، می توان محتوای کتاب را برای 28 هفته ای آموزشی زمان بندی کرد.


ریاضیات از زبان بزرگان
ساعت ٧:٢٧ ‎ب.ظ روز ٢٩ شهریور ۱۳٩٢   کلمات کلیدی: ریاضیدانان ،کاربرد ریاضی ،گوناگون ،مفاهیم ریاضی

اعتقاد به قابل حل بودن هر مساله ریاضی یک عامل محرک قوی برای کسی است که روی آن کار می کند.

در درون ما همیشه صدایی طنین انداز است که مساله ای پیش رو است برای حل آن تلاشت را به کار ببند.

شما می توانید آن را با استدلال روشنی بیابید.

در ریاضیات احساس عجز و ناامیدی جایی ندارد.

(دیوید هیلبرت۱۹۰۰)


بمب ریاضی امسال منفجر شد: راه‌حلی برای مساله ۲۳۰۰ ساله
ساعت ۸:٠٦ ‎ق.ظ روز ۱٧ شهریور ۱۳٩٢   کلمات کلیدی: اخبار ریاضی ،کاربرد ریاضی ،ریاضیدانان ،مفاهیم ریاضی

تصویر

تصور کنید می‌خواهید ثابت کنید بی‌نهایت زوج عدد اول وجود دارد که تفاضل‌شان 2 است؛ به جای آن ثابت می‌کنید بی‌نهایت زوج
عدد اول وجود دارد که تفاضل‌شان کمتر از 70,000,000 است. این بزرگ‌ترین کشف ریاضی سال‌های اخیر است.

تصور کنید قرار است ثابت کنید تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارند که تفاضل آنها دو واحد است. به جای
آن ثابت می‌کنید تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارد که تفاضل آنها کمتر از 70 میلیون رقم است. آیا فکر می‌کنید
این شکستی مفتضحانه است و بهتر است درباره آن سکوت کنید؟ اگر این طور فکر می‌کنید چیزی از دنیای شگفت‌انگیز ریاضیات نمی‌دانید.

اگر داستان آلیس در سرزمین عجایب را خوانده باشید حتما با لانه خرگوش آشنا هستید. آلیس، در یک عصر تابستانی خرگوشی
را دنبال می‌کند و به دنبال او قدم به لانهاش می‌گذارد و بلافاصله جهانش تغییر می‌کند، هیچ‌چیز آن طوری نیست که به نظر
می‌آمد باید باشد.
در این دنیا اولویت‌ها و منطق‌ها و رفتارها تغییر می‌کند. آلیس همان آلیس است، اما با قدم نهادن در لانه خرگوش دیدش
به جهان تغییر می‌کند و از دل آن است که می‌تواند جهان‌های جدیدی را نه تنها برای خود کشف کند که خوانندگان این داستان را
به کشف دنیایی فراسوی روزمرگی راهنمایی کند.

این لانه افسانه‌ای خرگوش فقط زاییده ذهن ریاضی‌دانی با نام مستعار لوییس کرول نیست که داستانی را هنگام قایق‌رانی برای
شاگردش تعریف کرده است. در دنیای واقعی دروازه‌های زیادی وجود دارد که وقتی قدم به آن بگذارید دنیای متفاوتی در برابر
چشمان شما شکل می‌گیرد؛ دنیایی که اگر بیش از اندازه به روزمرگی معتاد شده باشید به همان اندازه برایتان شگفت‌انگیز و
معجزه‌آسا خواهد بود. ریاضیات یکی از این حفره‌های جادویی جهان است، دنیایی برآمده از
منطق که تفسیرگر جهان ماست و رشد و پیشرفتش و فضا و ساختارش ساز و کار ویژه خود را دارد.
وقتی به این دنیا وارد می‌شوید آن‌چه در ابتدای این متن خواندید
دیگر شکست به شمار نمی‌رود بلکه موفقیتی تاریخی و یکی از مهم‌ترین کشف‌های ریاضیاتی معاصر بدل می‌شود.


دانلود کتاب حساب دیفرانسیل چاپ 92
ساعت ۸:٠٦ ‎ب.ظ روز ۱٦ شهریور ۱۳٩٢   کلمات کلیدی: معرفی کتاب ،اخبار آموزش و پرورش ،اخبار ریاضی ،مفاهیم ریاضی
کلیپ دامنه ترکیب دو تابع
ساعت ۱۱:٠۸ ‎ق.ظ روز ٢٦ شهریور ۱۳٩۱   کلمات کلیدی: کلیپ ،کاربرد ریاضی ،مفاهیم ریاضی ،نرم افزار ریاضی
همنهشتی و تئوری اعداد
ساعت ٤:٥٠ ‎ب.ظ روز ۱۸ آذر ۱۳٩٠   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،تاریخ ریاضی ،کاربرد ریاضی

تعریف

اگر a و b اعدادی صحیح و m عددی طبیعی باشد گوییم a همنهشت است با b به پیمانه m هرگاه (m|(b-a و می‌نویسیم (به پیمانه m) یا .

  • رابطه همنهشتی یک رایطه هم‌ارزی است پس این رابطه می‌تواند مجموعه اعداد صحیح را افراز کند. به مثال 2 در این زمینه توجه کنید.

ویژگی‌های همنهشتی

  • اگر b≡a به پیمانه m آنگاه به ازای عدد صحیح c داریم: a+c ≡ b+c به پیمانه m .
  • اگر b و a باهم همنهشت و (d=(a,b و c≡d به پیمانه m آنگاه ac≡bc به پیمانه m.
  • اگر b≡a به پیمانه m ، آنگاه به ازای n های طبیعی به پیمانه m.
  • به ازای تمام aوb های همنهشت به پیمانه m مجموع و حاصلضرب متناظرشان نیز باهم همنهشتند به پیمانه m.
  • اگر b≡a به پیمانه m و c عدد صحیحی باشد، آنگاه ac≡bc به پیمانه m.

احتمال شرطی
ساعت ۱:٤٠ ‎ب.ظ روز ۱۳ مهر ۱۳٩٠   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

احتمال شرطی A به شرط B با (P(A│B نشان داده می‌شود و با فرمول

(P(A│B) = P(AB)/P(B


تعریف می‌گردد، که در آن P(B)>0 این فرمول را می‌توان به صورت زیر نوشت:

(P(AB) = P(B) P(A│B


که آن قانون ضرب احتمالها گوییم. به همین نحو ، احتمال شرطی B به شرط A را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

(P(B│A) = P(AB)/P(A



که منجر به رابطه (P(AB) = P(A) P(B|A می‌شود. بنابراین قانون ضرب احتمالها این تساوی را بیان می‌کند که حاصلضرب احتمال شرطی یک پیشامد در احتمال پیشامد شرطی کننده ، برابر است با احتمال اشتراک آن دو پیشامد.

دید کلی

اغلب لازم می‌آید که احتمال پیشامدی چون A، که با پیشامدی مانند B مربوط است، بعد از الاع بر وقوع یا عدم وقوع پیشامد B ، اصلاح گردد. بنابراین کسب اطلاعات درباره جنبه‌ای از نتایج آزمایش ، ممکن است تجدید نظر در احتمال پیشامدی را که مربوط به جنبه دیکری از نتایج است، ایجاد کند. اجتمال تجدید نظر شده A ، وقتی معلوم شود که B رخ داده است، احتمال شرطی A به شرط B نامیده و با (P(A│B نشان داده می‌شود.

احتمال شرطی برای 3 پیشامد

قانون ضرب را می‌توان برای بیش از دو پیشامد نیز تعمیم داد. در مورد سه پیشامد A ، B و C ، فرمول عبارت است از:

(P(ABC)=P(A) P(B|A) P(C|AB

 

احتمال شرطی برای دو پیشامد مستقل

اگر دو پیشامد A و B مستقل باشند آنگاه احتمال شرطی به صورت زیر است:

(P(A|B)=P(A


شرطهای زیر ، هم ارز شرط بالا هستند:

(P(B|A) = P(B یا (P(AB) = P(A) P(B


با توجه به شرط استقلال اگر آزمایشی مرکب از دو قسمت فیزیکی مستقل و نامربوط به هم باشد، و پیشامد A و B به قسمتهای جداگانه آن آزمایش مربوط شوند، به پیشامد AB احتمال (P(AB) = P(A) P(B را نسبت می‌دهیم.


گستره علم آمار
ساعت ۱٠:۳٤ ‎ق.ظ روز ٥ تیر ۱۳٩٠   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

بیشتر مردم با کلمه آمار ، به مفهومی که برای ثبت و نمایش اطلاعات عددی بکار می‌رود، آشنا هستند: تعداد بیکاران ، قیمت روزانه بعضی از سهام در بازار بورس ، کارمزد تحمل کالا بوسیله کشتی در 15 سال گذشته مثالهایی از این مفهوم‌اند. ولی این مفهوم با موضوع منطبق با موضوع اصلی مورد بحث آمار نیست. آمار عمدتا با وضعیتهای سروکار دارد که در آنها وقوع یک پیشامد بطور حتمی قابل پیش بینی نیست. استنتاجهای آماری غالبا غیر حتمی‌اند زیرا مبتنی بر اطلاعات ناکاملی هستند. معادل کلمه آمار در زبان انگلیسی statistics است که از لحاظ تاریخی از کلمه لاتین status مشتق شده است.

نقش آمار در زندگی روزمره

پی بردن به واقعیات امور از طریق گردآوری و تعبیر داده‌ها ، منحصر به پژوهشگران حرفه‌ای نیست. این امر در زندگی روزمره همه مردم که می‌کوشند آگاهانه ، ناآگاهانه مسائلی را درباره جامعه ، شرایط زندگی ، محیط زندگی خود و کل دنیا درک کنند، معمول است. برای کسب اطلاع از وضع بیکاری ، آلودگی ناشی از ضایعات صنعتی ، اثر یک مسکن در رفع بیماری و سایر مسائل مورد علاقه در زندگی روزمره ، اطلاعات و ارقام را جمع آوری و آنها را تفسیر می‌نماییم یا کوشش می‌کنیم که تفسیرهای دیگران را بفهیم. بنابراین ، هر روز از طریق تجزیه و تحلیل ضمنی اطلاعات مبتنی بر واقعیات ، عمل کسب آگاهی انجام می‌گیرد.

نقش آمار در پژوشهای علمی

موضوع آمار عبارت است از هنر علم جمع آوری ، تعبیر و تجزیه و تحلیل داده‌ها و استخراج تعمیمهای منطقی در مورد پدیده‌های تحت بررسی. با توجه به مراحل اساسی یک تحقیق علمی که عبارتند از: مشخص کردن هدف ، جمع آوری اطلاعات ، تجزیه و تحلیل داده‌ها و بیان یافته‌های آشکار است که آمار بطور وسیعی در قلمرو تمام تحقیقات علمی بکار می‌رود. بویژه ، در مرحله جمع آوری اطلاعات ، آمار راهنمای محقق در انتخاب روشها و وسایل مناسب برای جمع‌آوری داده‌های اطلاعاتی است. در مراحل بعد از گرد آوری داده‌ها ، نیاز بیشتری به روشهای آماری وجود دارد.


تابع لگاریتم
ساعت ۸:٠۳ ‎ق.ظ روز ٢٧ اردیبهشت ۱۳٩٠   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی ،تاریخ ریاضی

در جبر عموما لگاریتم معمولی یا لگاریتم در پایه 10 عدد b را توانی تعریف می‌کنند که 10 باید به آن برسد تا b بدست آید: . فرض کنیم چنین عددی موجود بوده و از لگاریتم‌ها برای ساده‌کردن ضرب اعدادی که ارقام اعشاری زیادی دارند استفاده می‌کنیم.

تعریف

تابع لگاریتم طبیعی بصورت زیر نمایش داده می‌شود:



به ازای هر x بزرگتر از 1 ، این انتگرال مساحت ناحیه‌ای را نشان می‌دهد که از بالا به خم از پایین به محور t از طرف چپ به خط t=1 ، و از طرف راست به خط t=x محدود است.


یک ویژگی جالب مثلث خیام- پاسکال
ساعت ٥:٥٠ ‎ب.ظ روز ۱٧ فروردین ۱۳٩٠   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی ،ریاضیدانان

مطمئنا" همه ی شما با مثلث خیام - پاسکال آشنایی دارید و طرز ساخت آن را می دانید.بد نیست یادآور شویم که در ردیف n ام این مثلث ،عنصر k ام از جمع عناصر k ام و 1-k ام ردیف 1-n ام به دست می آید(1k ) .در این جا،چند ردیف از این مثلث را آورده ایم :


غربال اراتستن برای یافتن اعداد اول
ساعت ۱٢:۳۳ ‎ب.ظ روز ٦ اسفند ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی ،ریاضیدانان

 


روشی هندسی برای حل معادله ی درجه ی 3
ساعت ٩:۱٠ ‎ق.ظ روز ٢۱ بهمن ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی ،ریاضیدانان

حدود 900 سال پیش ،خیام روشی هندسی برای حل معادله ی درجه ی سوم به شکل:() ارائه کرد که در این جا به آن پرداخته ایم:

 

 



1)ابتدا یک سهمی به معادله ی را رسم می کنیم.

2)دایره ای به قطر رسم می کنیم ،به طوری که مرکز آن روی محور xها قرار داشته ودایره بر محور yها مماس باشد.(مانند آن چه که در شکل زیر آمده است.)

 



3)دایره ی رسم شده،سهمی رادرنقطه ی P قطع می کند،از P عمودی برمحور xها رسم کرده و نقطه ی تقاطع را Q می نامیم.

اندازه ی پاره خط AQ ریشه ی معادله است.

 اثبات:معادله ی دایره ی به مرکزو شعاع عبارت است از:.اگر این دایره را با سهمیقطع دهیم به معادله ی می رسیم و این یعنی اندازه ی پاره خط AQ ریشه ی معادله ی درجه ی سوم مزبور است.


منشور
ساعت ٤:٤٤ ‎ب.ظ روز ٩ بهمن ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

ماهیت منشور

نوری که از شیشه منشور می‌گذرد، به لحاظ بستگی ضریب شکست به طول موج و یا پاشندگی مواد ، به رنگهای تشکیل دهنده آن تجزیه می‌شود (تجزیه نور سفید). مثلا نور سفید به طیف وسیع هفت رنگ خود تجزیه می‌گردد. بنابراین در بحث منشورها از پاشندگی نور می‌گذریم و منشورهایی را بررسی می‌کنیم که پاشنده نیستند، یعنی ضریب شکست آنها بستگی طول موجی ندارد، منشورهایی که می‌توان از آنها در آرایش سطوح بازتابنده چندگانه استفاده کرد. مزیت منشور بر مجموعه چند آینه این است که منشورها پس از تعبیه شدن در سیستم ، سمتگیری طراحی شده را حفظ می‌کنند و نیازی به تنظیم در دستگاه نهایی را ندارند. به غیر از اینکه خود منشور به عنوان یک مجموعه کل تنظیم شده باشد.

ساختار کلی

  • از آنجا که کلیه منشورها جهت بازتابیدگی به لایه‌های مواد فلزی و دی الکتریکها در سطح خود لازم ندارند، برعکس ، آینه‌ها وقتی مورد استفاده قرار می‌گیرند، کارآیی آنها تقریبا بدون اتلاف تابش است. و تنها اتلاف ناشی از ناخالصی و ناهمواریهای سطح منشور و بازتابشهای فرنل مربوط می‌شود که ناچیزند. آنچه مهم است تنظیم دائمی سطوح بازتابنده و بازتابش داخلی کلی است، استفاده از این منشورها در بیشتر دستگاههای نوری توصیه می‌شود.

هندسه فضایی
ساعت ٢:۳۸ ‎ب.ظ روز ٢۸ آبان ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

هندسه فضایی به بررسی موقعیت اجسام ، اجرام و نقاط متحرک یا ساکن در فضا می‌پردازد، فضا مختصاتی سه بعدی دارد شامل طول ، عرض ، ارتفاع که این ابعاد را با x ، y و z در صفحه مختصات فضایی نمایش می‌دهیم. مهمترین مبحث در هندسه فضایی مبحث بردارها می‌باشند. بنابراین در هندسه فضایی به مؤلفه‌های برداری ، بردارهای یکه ، صفحات ، فاصله‌ها و ... خواهیم پرداخت.

مؤلفه‌های برداری و بردارهای یکه i ، k , j

بعضی از کمیات فیزیکی مانند طول و جرم اندازه پذیر هستند و توسط اندازه‌شان کاملا معین می‌شوند، این کمیات و کمیات نظیر آنها را کمیات اسکالر می‌گوئیم. اما کمیات دیگری وجود دارند که علاوه بر اندازه باید جهت آنها نیز مشخص باشد تا معین شوند این کمیات را کمیات برداری گوئیم. یک بردار را معمولا با پاره خطی جهتدار نمایش می‌دهند که جهتش نمایش جهت بردار بوده و طولش بر حسب یک واحد اختیار شده نمایش اندازه‌اش می‌باشد. دو بردار را زمانی مساوی می‌نامیم که از لحاظ جهت و اندازه یکسان باشند.

بهترین جبر بردارها مبتنی بر نمایش آنها بر حسب مؤلفه‌های موازی محورهای
مختصات دکارتی است. این کار با استفاده از واحد طول یکسان بر سه محور x ، z , y صورت می گیرد و در این راه از بردارهای با طول یک در امتداد محورها به عنوان بردارهای یکه استفاده می‌شود که i را بردار یکه محور j ، x را بردار یکه محور y ها و k را بردار یکه محور z ها می‌گوئیم.
مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی است که در صفحه قرار دارند طول و جهت آنها است. طول بردارها با دو بار استفاده از
قضیه فیثاغورس به دست می‌آید. اما به صورت ساده‌تر جهت بردار ناصفر بردار واحدی است که از تقسیم مؤلفه‌های آن بر طولش به دست می‌آید.


نقش آمار در مراحل اساسی پژوهش علمی
ساعت ٩:٠٢ ‎ق.ظ روز ٢٩ مهر ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: کاربرد ریاضی ،مفاهیم ریاضی

در مرحله جمع آوری اطلاعات ، آمار راهنمای محقق در انتخاب روشها و وسایل مناسب برای جمع آوری داده‌های اطلاعاتی است. این راهنمایی ، مشتمل است بر تعیین نوع و میزان داده‌ها. بطوری که نتیجه‌های حاصل از تجزیه و تحلیل داده‌ها را بتوان با درجه دقت مورد نظر بیان کرد. در زمینه‌هایی از مطالعات که انجام آزمایشها پرخرج است، نوع و مقدار داده‌های لازم برای بدست آوردن نتیجه‌هایی که از میزان اعتبار مطلوب برخوردار باشند، باید به دقت از قبل تعیین شود. در زمینه‌های دیگر نیز ، این امر از لحاظ اعتبار نهایی و موثر بودن نتایج حاصل از تحلیل داده‌ها ، اهمیت دارد. شاخه‌ای از آمار که با طرح ریزی آزمایشها و گردآوری داده‌ها سروکار دارد، طرح آزمایش یا طرح نمونه گیری نامیده می‌شود.

در مراحل بعد از گردآوری داده‌ها ، نیاز بیشتری به روشهای آماری وجود دارد. دسته‌ای از این روشها برای خلاصه کردن اطلاعات موجود در داده‌ها طرح ریزی می‌شوند تا توجه ما روی ویژگیهای مهم داده‌ها متمرکز گردد و جزئیات غیر ضروری کنار گذاشته شوند. دسته مهمتری از روشها ، در
تجزیه و تحلیل داده‌ها ، برای استخراج نکات کلی و استنباطهایی درباره پدیده تحت مطالعه بکار می‌روند. آن دسته از روشهای آماری که با تلخیص و توصیف ویژگیهای برجسته داده‌ها سروکار دارند، در مبحث آمار توصیفی قرار می‌گیرند. برخلاف گذشته ، امروزه آمار توصیفی فقط قسمت کوچکی از حوزه فعالیتهایی است که تحت پوشش موضوع آمار قرار می‌گیرند.


فراسوی بی‌نهایت
ساعت ٩:۱۱ ‎ق.ظ روز ٢٧ شهریور ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

بی‌نهایت واقعا ذهن انسان را به چالش می‌کشاند. اولین ریاضیدانی که با آن دست و پنجه نرم کرد، ریاضیدان آلمانی گئورگ کانتور بود که پس از اندیشیدن بسیار طولانی مدت در مورد این پدیده ریاضی، سرانجام در سال 1918 در یک بیمارستان روانی از دنیا رفت. اما پیش از آنکه ذهن کانتور دچار فروپاشی شود، او توانسته بود کشفیات حیرت انگیزی را در خصوص بی‌نهایت انجام دهد. اولین کشف این بود که تعداد زیادی بی‌نهایت وجود دارد. در واقع، تعداد بی پایانی بی‌نهایت وجود دارد که کانتور هر یک از آنها را یک عدد "ترانهایت" نام نهاده بود.


مثلث و قوانین حاکم بر آن
ساعت ۱۱:۱٢ ‎ق.ظ روز ۳۱ امرداد ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

* مساحت مثلث

مساحت S مثلث ABC با اضلاع a، b و c و زاویه‌های برابر است با:


* قانون سینوسها

در هر مثلث ABC با اضلاع a، c ,b و زاویه‌های داریم:

* قانون کسینوسها

در مثلث ABC با اضلاع a، c , b و زوایای داریم:



رمز و راز عدد 13
ساعت ٩:٢۱ ‎ق.ظ روز ٢٩ تیر ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی ،گوناگون

اگر از کوچه پس کوچه‌های قدیمی شهرآنجایی که هنوز رگه‌هایی از خانه‌های قدیمی کاهگلی یافت می‌شود گذر کنیم هنوز هم پلاکهای خانه‌هایی را می توان دید که روی آن 1+12 به جای سیزده نوشته شده است، علت آن را در اعتقادات مردم می توان یافت تحت این عنوان:
نحس بودن 13 !
آنچه در ادامه خواهید خواند جادوی 13 است که به نظر جالب می رسد !!!


واژگان ریاضیات گسسته
ساعت ۱:۳٢ ‎ب.ظ روز ٧ تیر ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،تاریخ ریاضی ،کاربرد ریاضی

  واژگان ریاضیات گسسته


تابع قدرمطلق
ساعت ٥:٢٩ ‎ب.ظ روز ۱٦ خرداد ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

تعریف تابع قدرمطلق

تابع که بنام تابع قدرمطلق معروف است بصورت زیر تعریف می‌شود:



ویژگیهای تابع قدرمطلق

  • قدرمطلق عددی مانند ، عدد است. اگر مثبت باشد قدرمطلق آن همان است. ولی اگر منفی باشد قدرمطلق و اگر صفر باشد قدرمطلقش صفر خواهد شد.
  • قدرمطلق حاصل‌ضرب دو عدد ، حاصل‌ضرب قدرمطلق‌های آن است با استفاده از علائم می‌توان نوشت:


تابع دیریکله
ساعت ٥:٥٠ ‎ب.ظ روز ٢٢ اردیبهشت ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،ریاضیدانان

اگر c و d دو عدد حقیقی متمایز باشند آنگاه تابع دیریکله را چنین تعریف می کنند:
img/daneshnameh_up/5/58/DirichletFunction.gif
این
تابع چندضابطه‌ای را با نماد (D(x نشان می دهند و معمول ترین و صورت آن حالتی است که C=1 و ‌d=0 باشد که در این صورت تابع دیریکله به این صورت تعریف می شود:
تصویر
تعریف فوق از تابع دیریکله را همچنین می‌توان با استفاده از آنالیز ریاضی به این صورت نشان داد:

به عنوان مثال:
اگر x=2 باشد آنگاه:

و اگر به جای x عدد پی که گنگ است را قرار دهیم:

اما چون لذا تابع دیریکله را می‌توان به عنوان
تابع مشخصه اعداد گویا در مجموعه اعداد حقیقی در نظر گرفت.
از جمله ویژگی های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه و بازه ای دارای حد نمی‌باشد، پیوسته و انتگرال پذیر هم نمی‌باشد.. به این ترتیب نموداری از آن نمی‌توان رسم کرد.


اوریگامی چیست؟
ساعت ۸:۳٧ ‎ق.ظ روز ۱٦ اردیبهشت ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: کاربرد ریاضی ،گوناگون ،مفاهیم ریاضی

آیا اوریگامی فقط مربوط است به خم کردن کاغذ؟ آیا اوریگامی یک صنعت است یا یک هنر یا شاخه‌ای از ریاضیات، یا آمیزه‌ای از همه‌ی این‌ها؟

در یک تعریف ساده می‌توان گفت:
«اوریگامی روش ارائه‌ی اشکال است که عمدتاً با خم کردن ماده‌ی مورد استفاده (کاغذ) حاصل می‌شود».
اصل لغت «اوریگامی» در زبان ژاپنی از «اورو» به‌معنی خم کردن و «کامی» به‌معنی کاغذ گرفته شده است. اما خم کردن کاغذ اسامی دیگری نیز در زبان ژاپنی داشته است که به‌تدریج به‌نفع اوریگامی از دور خارج شده‌اند.


ضریب هوشی چیست و اهمیت آن در چیست؟
ساعت ۱۱:٤٧ ‎ق.ظ روز ۱٧ فروردین ۱۳۸٩   کلمات کلیدی: گوناگون ،ریاضیدانان ،مفاهیم ریاضی

ضریب هوشی IQ یک نسبت است که از تقسیم سن عقلی بر سن تقویمی ضربدر صد به دست می‌آید. اگر سن عقلی با سن تقویمی یکسان باشد، ضریب هوشی صد می‌شود ولی در بعضی مواقع در بعضی افراد سن عقلی بیشتر می‌شود که این فرد هوشی بیشتر از سایر افراد دارد.
برای به دست آوردن سن عقلی راه‌های زیادی وجود دارد و معمولا کارشناسان از تست‌های خاصی استفاده می‌کنند که جنبه‌های مختلفی مانند تشخیص الگوها، قدرت حافظه کوتاه‌مدت، استفاده فرد از واژه‌ها، سرعت محاسبه فرد، درک روابط یا جبر، اطلاعات عمومی، محاسبات ریاضیات، درک فضایی، منطق و املا را ارزیابی می‌کند.


روشهای محاسبه دوره تناوب توابع
ساعت ۱٢:٠٢ ‎ب.ظ روز ۱٧ اسفند ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

توابع متناوب کاربردهای بسیاری در سایر علوم نظیر فیزیک و مکانیک دارند و از این نظر ، اهمیت زیادی دارند. بسیاری از فعالیتهای اطراف ما دوره‌ای هستند. مانند تعداد زنگ‌هایی که یک ساعت شماطه‌دار در زمانهای متناوب می‌زند یا تعداد نوسانی که یک فنر به هنگام فشرده شدن و سپس رها شدن دارد. یا تعداد رفت و برگشتهای توپ بازی شما هنگامی که آن‌ را به زمین می‌زنید و بسیاری از چیزهای دیگر که در اطرافمان هستند و ما آنها را در طول روز می‌بینیم، تکراری و یا به اصطلاح پریودیک می‌باشند. حال اگر بتوانیم برای تمام این پدیده‌هایی که بطور تکراری در دفعات معین تکرار می‌شوند تابعی را معرفی کنیم آن می‌شود تابع متناوب. مثلا آیا می‌توانید تابعی را معرفی کنید که تعداد زنگ‌های ساعتی را رأس ساعت T یعنی T ساعت بعد نسبت به مبدأ مشخص کند؟ حتی اگر نتوانید ضابطه‌ا‌ی برای این تابع مشخص کنید، حداقل می‌توانید با اطمینان بگویید برای این تابع داریم:



یعنی تکرارهای این تابع هر 12 ساعت یک بار است. برای مثال یعنی این ساعت 3 ساعت بعد ، 15 ساعت بعد و 27 ساعت بعد ، یک تعداد مشخصی زنگ می‌زند. این تابع مثالی از یک تابع متناوب با دوره تناوب 12 است.


نقطه عطف
ساعت ٢:٢٩ ‎ب.ظ روز ۱٠ دی ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

تابع را در نظر بگیرید در این تابع همراه با افزایش نمودار صعود می‌کند؛ اما قسمتی از خم که مربوط به بازه است مربوط به در جهت‌های متفاوتی تقعر می‌یابند. اگر در امتداد خم از سمت چپ به طرف مبدأ برویم پیچش خم به سمت راست است. وقتی از مبدأ دور می‌شویم، خم به سمت چپ می‌پیچد. با توجه به مطالب ذکر شده می‌گوئیم تقعر خم بر بازه که در آن مشتق اول ، کم می‌شود رو به پایین و بر بازه که در آن مشتق اول زیاد می‌شود رو به ‌بالاست. در زندگی روزمره امان نقطه عطف سهم ویژه‌ای در مطالعات ما دارد. اغلب ما تغییر سیر زندگی‌مان را توسط یک پیشامد به عنوان نقطه عطفی در زندگی خصوصی‌مان یاد می‌کنیم. بنابراین منظور از نقطه عطف یک تابع ، یک تغییر و یک انقلاب ناگهانی است.

شرایط نقطه عطف

تابع را در نظر می‌گیریم در صورتی که شرایط زیر صادق باشد، گوئیم نقطه عطف این تابع است:

  1. تابع در پیوسته باشد.
  2. تابع در دارای خط مماس باشد.
  3. تقعر منحنی در عوض شود.

عدد نپرین
ساعت ۱٢:٤٥ ‎ب.ظ روز ٢ آذر ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی ،تاریخ ریاضی

درمیان جمیع دستگاههای لگاریتمی ممکن(با پایه بزرگتر از 1) تنها دو دستگاه متداولند ، که یکی ز آنها لگاریتمهای طبیعی هستند که بر مبنای عدد نپرین بنا شده اند. ودر ریاضیات عالی تنها لگاریتمهایی که تقزیبا منحصرا به کار میروند لگاریتمهای طبیعی اند.

img/daneshnameh_up/6/69/euler.jpg
لئونارد اویلر




تاریخچه

Leonhard Euler 1707-83 پایه لگاریتم طبیعی (~ 2.71828)، اولین بار توسط لئونارد اویلر (Leonhard Euler 1707-83) یکی از باهوشترین ریاضیدانان تاریخ ریاضیات مورد استفاده قرار گرفت. در یکی از دست خطهای اویلر که ظاهرا" بین سالهای 1727 و 1728 تهیه شده است با تیتر Meditation on experiments made recently on the firing of cannon اویلر از عدی بنام e صحبت می کند. هر چند او رسما" این نماد را در سال 1736 در رساله ای بنام Euler's Mechanica معرفی میکند.


در واقع باید اعتراف کرد که اویلر کاشف یا مخترع عدد e نبوده است بلکه سالها قبل فردی بنام
جان ناپیر (John Napier 1550-1617) در اسکاتلند هنگامی که روی لگاریتم بررسی می کرده است بحث مربوط به پایه طبیعی لگاریتم را به میان کشیده است. فراموش نکنید که شواهد نشان میدهد حتی در قرن هشتم میلادی هندی ها با محاسبات مربوط به لگاریتم آشنایی داشته اند.

در اینکه چرا عدد ~ 2.71828 بصورت e توسط اویلر نمایش داده شده است صحبت های بسیاری است. برخی e را اختصار exponential می دانند، برخی آنرا ابتدای اسم اویلر (Euler) می دانند و برخی نیز میگویند چون حروف a,b,c و d در ریاضیات تا آن زمان به کرات استفاده شده بود، اولر از e برای نمایش این عدد استفاده کرد. هر دلیلی داشت به هر حال امروزه اغلب این عدد را با نام Euler می شناسند.


ده دستورالعمل پولیا برای معلّمان ریاضی
ساعت ۱٢:۳٦ ‎ب.ظ روز ٧ آبان ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،ریاضیدانان ،کاربرد ریاضی

1-      به موضوع درس خود ،علاقه مند باشید .

2-      بر ماده درسی خود، مسلّط باشید .

3-      بدانید، از چه راهی می توانید آنچه را در نظر دارید، یاد بدهید؟ بهترین روش یاد دادن را خودتان پیدا کنید .

4-      به چهره شاگردان خود نگاه کنید، تا متوجه انتظارهای آنها بشوید . دشواری های آنها را کشف کنید؛ توانایی این را داشته باشید که بتوانید خودتان را به جای آنان بگذارید .

5-      به آگاهی های خشک قناعت نکنید. بکوشید مهارت را که لازمه عقل و اندیشه است و عادت به کار منظم را، در دانش آموزان تقویت کنید و تکامل بخشید.

6-      بکوشید تا حدس زدن و پیش بینی کردن را، به آنان بیاموزید.

7-      سعی کنید، اثبات کردن را به دانش آموزان یاد بدهید.

8-      در مسأله ای که طرح شده است ، چیزی را جستجو کنید که، برای حل مسأله های دیگر مفید است . از موقعیتی که مسأله مشخص مفروض دارد ،روش کلی را کشف کنید .

9-      راز خود را ، بلافاصله فاش نکنید . اجازه بدهید دانش آموزان تا آنجا که می توانند تلاش خود را برای حل یا حدس راه حل ، به کار برند ؛ به دانش آموزان امکان بدهید ،هر چه بیشتر خودشان کشف کنند .

10- با اشاره های خود ، دانش آموزان را راهنمایی کنید، ولی عقیده خود را ، به زور به آنها تحمیل نکنید .


همگرایی و واگرایی سریها
ساعت ٩:٠٤ ‎ق.ظ روز ٧ آبان ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

عضوهای مجموعه‌ای را در نظر می‌گیریم و آنها را با نظم مشخصی مرتب می‌کنیم. مرتب کردن عضوهای مجموعه با نظم و ترتیب معین مفهوم سریها را پایه‌گذاری می‌کند. در اینصورت اگر تعداد جمله‌های مرتب شده محدود باشد سری محدود و اگر نامحدود باشد سری را نامحدود گوییم. در هر دو صورت ضابطه مشخص برای نوشتن جمله‌های سری وجود دارد.

مجموع یک سری

درک مفهوم سریها آسان است، کافی است عده محدودی از عددها را با جمع کنیم. این کار برای سریهای نامحدود به این سادگی نیست. نخست باید یک سری از جمعک‌ها را تشکیل دهیم. جمله اول جمعک اول ، مجموع دو جمله اول را جمعک دوم و... می‌نامیم. برای روشن شدن مطلب بهتر است از نمادهایی مرتبط استفاده کنیم. فرض کنیم جمله را با ، جمله دوم را با و جمله n ام سری را با نمایش دهیم در اینصورت برای سری ذکر شده فوق خواهیم داشت:


در عبارات بالا هر کدام از ها را که ، جمعک می‌نامیم. اگر سری نامحدود مجموعی داشته باشد. این مجموع حد است به ازای این حد را S می‌نامیم. هر اندازه که n بزرگ باشد باهم تفاوت دارند. این تفاوت را می‌توانیم به اندازه دلخواه کوچک کنیم. در واقع هر چه تعداد جمله‌هایی که در نظر می‌گیریم بیشتر باشد به مجموع سری نزدیکتر می‌شویم.


رادیان
ساعت ٦:۱٧ ‎ب.ظ روز ۱۱ مهر ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

در همه موارد عملی، زاویه بر حسب واحدهایی اندازه‌گیری می‌شود که از تقسیم زاویه قائمه به اجزاء برابر به دست می‌آیند. اگر تعداد این اجزاء 90 باشد، واحد همان واحد آشنای «درجه» است. تقسیم زاویه قائمه به 100 جزء برای نظام اعشاری ما مناسبتر است ولی‌آن هم معرف همین شیوه اندازه‌گیری است. اما در بررسیهای نظری بهتر است برای مشخص کردن اندازه زاویه از شیوه اساساً متفاوتی استفاده کنیم که حاصل آن را اندازه رادیانی یا اندازه بر حسب رادیان می‌نامند.


حل معادله ی درجه ی 3
ساعت ۱٠:۱٢ ‎ب.ظ روز ٢٦ شهریور ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی
در ریاضیات، معادله درجه 3 یک چند جمله‌ای است که بیشترین درجه مجهول آن 3 باشد. به عنوان مثال معادله یک معادله درجه 3 می‌باشد، فرم کلی معادلات درجه سوم به صورت نوشته می‌شود. که بطور معمول ضرایب معادله‌ای را حقیقی هستند. همچنین، همواره منفی بر اینست که در چنین معادله‌ای باشد. حل معادله‌ درجه سوم متوجه پیدا کردن ریشه‌های معادله می‌باشد.

 تاریخچه

معادلات درجه سوم برای اولین بار توسط ریاضیدانان هندسی در حدود 400 سال قبل از میلاد مورد توجه قرار گرفت. در بین ریاضیدانان پارسی، عمر خیام (1123-1048) راه حلی را برای حل معادله درجه سوم ابداع کرد. او در این روش با استفاده از هندسه نشان داد که چگونه با استفاده از روش هندسی می‌توان به جواب عددی معادله رسید با استفاده از جدول مثلثاتی. همچنین در حول و حوش قرن 16، یک ریاضیدان ایتالیایی به نام scipione، روشی را برای حل کلاسی از معادلات درجه سوم که به صورت می‌باشند را ادامه داد. او همچنین نشان داد که تمامی معادلات درجه سوم را می‌توان به صورت گفته شده کاهش داد.


کاربرد مشتق در ترسیم توابع
ساعت ۱۱:٤۱ ‎ق.ظ روز ۱٤ شهریور ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

مقدمه

مطالعات ما در مورد مشتق فواید بسیاری دارد از جمله آنها ترسیم توابع است. برای تعیین شکل نمودار از مشتقهای اول و دوم تابع استفاده می‌کنیم. مشتق اول تعیین می‌کند که نمودار در کجا صعودی و در کجا نزولی است. مشتق دوم ما را مطلع می‌سازد که تقعر نمودار کجا رو به پایین و کجا رو به بالا است. بسیاری از نمودارهای وقتی X بزرگ شود، یا به مقادیر خاصی میل کند به خط مستقیم میل می‌کنند که تمام این مطالب بررسی خواهد شد.

رسم خم با استفاده از مشتق اول

وقتی بدانیم که تابعی در هر نقطه از بازه‌ای مشتق دارد، بنابر قضایای مشتق خواهیم دانست که تابع در سراسر آن بازه پیوسته است و نمودارش در آن بازه قطع شدگی ندارد. مثلا نمودارهای توابع مشتقپذیر y=Sin x همانند نمودار چند جمله‌ایها ، هر چه ادامه بیابند قطع نمی‌شوند. نمودارهای y = tan x و y = 1/x2 صرفا در نقاطی که توابع مربوط تعریف نشده هستند قطع می‌شوند. بر بازه‌ای که این نقاط را شامل نباشند توابع مزبور مشتق پذیرند؛ و بنابراین پیوسته‌اند و نمودارهایشان قطع شدگی ندارد. اگر بدانیم مشتق تابعی کجا مثبت و کجا منفی و کجا صفر می‌باشد، آنگاه می‌توانیم درباره شکل نمودار آن تابع اطلاعاتی بدست آوریم. با دانستن این مطلب می‌توان مشخص کرد که نمودار در کجا بالا می‌رود ، پایین می‌آید یا مماس افقی دارد.


راهنمای تدریس کتاب جدیدالتالیف ریاضی ۲ ( فصل اول )
ساعت ٧:٥٢ ‎ق.ظ روز ٥ شهریور ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،اخبار ریاضی ،اخبار آموزش و پرورش
کاربردهای مشتق
ساعت ۱:۱۸ ‎ب.ظ روز ٩ تیر ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

  • پیدا کردن شیب خط
  • پیدا کردن سرعت
  • محاسبه تغیرات یک کمیت نسبت به دیگری
  • پیدا کردن شتاب
  • محاسبه انرژی جنبشی
  • پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم نسبی توابع
  • پیدا کردن تابع صعودی و نزولی
  • تعیین نقاط بحرانی توابع
  • پیدا کردن تقعر، تحدب و نقطه عطف
  • قضیه مقدار میانگین
  • قضیه رول (Rolle)

  • روشهای سریع محاسبه
    ساعت ۸:٢٠ ‎ب.ظ روز ٢ تیر ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

    در ریاضیات ضرب اعداد چند رقمی و یا تقسیم آنها شاید برای دانش آموزان مشکل باشد و باعث شود که آنها ماشین حساب متوسل شوند. ولی ما در اینجا بعضی از روشهای محاسبه این اعمال را یاد می‌گیریم. به فرض وقتی می‌خواهیم روش حفظ کل تقویم سال را که بسیار ساده است، در چند دقیقه یاد بگیریم. حتی در ظرف یک دقیقه هم امکان پذیر است. فقط شما کافی است اولین شنبه هر ماه را بدانید که چندم است؟ مثلا اگر سوم فروردین است، اولین پنجشنبه آن می‌شود:

    رمز: "فریدون سه بخش است"
    اسفند: وقتی اسپند دود می‌کنم یک غول سه سر از اون بیرون میاد!
    دومین سه شنبه؟ 13=3+7+3
    "مغز می‌تواند مانند سایر استعدادهای بدن پرورش یابد."


    قانونهای پیشرفت ریاضیات
    ساعت ٧:۱٦ ‎ق.ظ روز ۱٥ خرداد ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

    ریاضیات ، در یک دوره تاریخی و بوسیله یک ملت بوجود نیامد. بلکه محصول زمان‌های متوالی و نتیجه کار نسل‌های زیادی است. نخستین مفهوم‌‌ها و حکم‌های ریاضی در دوره‌های خیلی باستانی بوجود آمد و بیش از دو هزار سال پیش بصورت دستگاه استواری درآمد؛ با وجود آنکه ، ضمن عبور از یک دوره به دوره دیگر ، تغییرهایی در ریاضیات بوجود می‌آید، مفهوم‌ها و نتیجه‌گیریهای آن (مثل قانون‌های حساب و قضیه فیثاغورس) به قوت خود باقی می‌ماند. نظریه‌های تازه شامل موفقیت‌های پیشین هم هست، ولی آنها را دقیق‌تر، کامل‌تر و کلی‌تر می‌کند.


    نحوه ی مطالعه ی ریاضیات
    ساعت ٧:٠٠ ‎ب.ظ روز ٢۱ اردیبهشت ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: گوناگون ،مفاهیم ریاضی


     
    فراگیری ریاضیات را می توان به دو بخش کلی تقسیم کرد . این دو بخش عبارتند از :

    1) درک مفاهیم و نحوه استدلال ریاضی
    2) تمرین و بکار بردن این مفاهیم

    ریاضیات مجموعه ای از مفاهیم است که همگی در ذهن ما بوده و به صورت اشیاء مادی وجود خارجی ندارند . به عنوان مثال صفحه و نقطه خود اشیاء مادی نیستند بلکه تصوراتی هستند از اشیایی که مانند یک تکه کاغذ ، پهن و یا مانند سر سوزن یا نوک مداد ، تیز می باشند .


    یک معلم باتجربه ، شرایط یادگیری را طوری فراهم می کند که دانش آموز بتواند مفاهیم ریاضی را عمیقاً دریابد و به کار ببرد ، با این وجود این دانش آموز است که باید بیاموزد و تا زمانی که خود او برای آموختن فعال نباشد و با علاقه و انگیزه تلاش نکند ، هیچ معلمی تمی تواند ، نه تنها ریاضیات بلکه هیچ علمی دیگر را در مغز او فرو کند .
    اولین مانعی که بر سر راه شما در فراگیری ریاضیات وجود دارد و باید برای برداشتن آن اقدام کنید ذهنیت منفی است که در اغلب دانش آموزان نسبت به ریاضیات وجود دارد . بسیاری از دانش آموزان معتقدند که فراگیری ریاضیات به صورت گسترده ای که در دبیرستان های ما تدریس می شود کاری بیهوده و غیرضروری است .


    برهان خلف
    ساعت ۱٠:۱٢ ‎ق.ظ روز ۱٩ اردیبهشت ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

    برهان خلف نوعی از برهان غیرمستقیم است؛ برای آنکه ثابت کنیم قضیه‌ای درست است می‌توانیم ثابت کنیم که خلاف آن قضیه ، یعنی ناارز آن (=نقیض) آن ، نادرست است. به این ترتیب که از صورت قضیه قسمتی را بعنوان فرض و قسمت دوم را بعنوان حکم در نظر می‌گیریم، بعد در جهت اثبات خلاف حکم مورد نظر حرکت می‌کنیم. بعد از طی مراحلی به جایی می‌رسیم که با فرض قضیه که در ابتدا آن را درست در نظر گرفته بودیم به تناقض می‌رسیم تناقض حاصل ما را به این مهم می‌رساند که جهتی را که برای اثبات خلاف حکم انتخاب کرده این نادرست است (زیرا با فرض در تناقض است) بنابراین حکم خلف رد شده و حکم قضیه اصلی اثبات می‌شود.


    همنهشتی مثلثها
    ساعت ۱۱:٥۱ ‎ق.ظ روز ۳ اردیبهشت ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

    شکلهای مسطح را هم نهشت گویند اگر همریخت و هم اندازه باشند. شکلهای همنهشت را میتوان با تبدیلی که نقاط را حرکت میدهد ، اما رابطه های برخوردی "incidence" (بین نقاط و خطوط)، زوایای بین خطوط، و طولهای پاره خطها را تغییر نمی دهد، بر هم منطبق کرد.
    چنین تبدیلی سطحها را حفظ میکند و خطوط موازی را موازی جابجا میکند.
    اگر شکلهای همنهشت دارای جهت یکسان ( نسبت به جهت ثابتی از صفحه) باشند، آنها را میتوان با استفاده از دنباله ای از انتقالها و دوران های صفحه به هم تبدیل کرد.
    چنین شکلهایی را مستقیم-هم نهشت " directly congruent" می نامند.
    اگر دارای جهت یکسان نباشند آنگاه برای منطبق کردن یکی بر دیگری، میتوان دنباله ای را بدست آورد که غیر از انتقالها و دوران های متوالی حاوی تقارنی منفرد نسبت به خطی راست باشد.
    شکلهایی چنین را وارون - همنهشت "inversely congruent" می نامند.
    انتقالها ، دورانها و تقارنها به تبدیل های هم نهشتی موسوم اند و می توانند در بررسی شکلهای مسطح به عنوان معیارهای همنهشتی به کار روند، اما این کاربرد به هیچ وجه در برگیرنده سودمندی آنها به عنوان وسیله ای در کشف مطالب تازه هندسی نیست.


    فرمول های مثلثاتی
    ساعت ۱۱:٥٧ ‎ق.ظ روز ۳٠ فروردین ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی


    راهنماییهایی برای حل مساله
    ساعت ٤:٥٦ ‎ب.ظ روز ٢٢ فروردین ۱۳۸۸   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،گوناگون ،کاربرد ریاضی

    کار مداوم و باپیگیری

    برای حل یک مساله ریاضی (اگر مضمونی تازه داشته باشد و در ردیف تمرین‌های ساده پایان درس نباشد) نمی‌توان روش یا روشهای کلی پیدا کرد. بنابراین، چاره‌ای جز این نداریم که با تکیه بر تجربه زندگی ، آگاهی علمی ، مقایسه و تجزیه و تحلیل راههای گوناگون و در هر حال ، به کارگرفتن اندیشه ، خود و استعداد خود ، مسیر بهینه را بیابیم. برای حل مساله‌های ریاضی هم باید از همین راه رفت و نباید منتظر "دستورها" و "نسخه‌های شفابخش" بود. چنین دستورها و نسخه‌هایی که بتوان به یاری آنها ، از عهده حل هر مساله برآمده وجود ندارند. با همه اینها ، می‌توان، از راهنمایی‌هایی سود برد. بویژه ، برای کسانی که بطور دایم و مستمر با حل مساله سروکار دارند، این راهنمایی‌ها و توصیه‌ها می‌تواند سودمند باشد.


    سیر تکامل محاسبه
    ساعت ۱۱:٠٦ ‎ق.ظ روز ٢٧ اسفند ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

     

    از آنجا که ارقام قدیمی برای عمل محاسبه نامناسب بودند، احتمال دارد پیش از تکمیل دستگاه عدد نویس جدیدی در همه جا نوعی محاسبه مکانیکی وجود داشته است. وقتی در نظر بگیریم که همه مصالح نوشتنی بعدها بوجود آمدند، این احتمال قوت بیشتری می‌یابد. پیش از سده هفتم پیام یونانیان پاپیروس را نمی‌شناختند، کاغذ پوستی از ابداعات سده پنجم می‌بود کاغذ از فراورده‌های نسبتا جدیدی است. در حالی که لوحه‌های گلی پا مومی برای عمل محاسبه مناسب نبودند.

    چرتکه


    مفهوم واژه در زمان قدیم "چرتکه" ظاهرا به میزی گفته می‌شد که رویش پوشیده از شن ریزه یا خاک نرم بود، که اعداد را با میله‌ای بر روی آن ترسیم می‌کردند و در وقت لزوم علامتها را با انگشت پاک می‌کردند. به نظر می‌رسد منشا چرتکه همین بوده است. در حالی که هر نوع اطلاع مشخصی در مورد منشا چرتکه از میان رفته ، دلیلهایی برای انتساب آن به منشا سامی بیشتر است تا آرایی. سرانجام چرتکه شنی جایش را به میز خط داری داد که در آن مهره‌های کوچکی در ردیفهایی قرار گرفته و مبین عددهایی بودند. این شکل تا آغاز سده هفدهم در اروپا رواج عام داشت و تا مدتها بعد هم در برخی نقاط همچنان باقی ماند. اما در زمانهای بسیار دور نوع سومی از چرتکه هم در برخی نقاط جهان بوجود آمد. در آن به جای خطها یا ردیفهایی که در آنها مهره‌ها قرار می‌گرفت، میله‌هایی برای حرکت مهره‌های متحرک بر روی آنها کار گذاشته شده بود، شکلی که هنوز در روسیه ، چین ، ژاپن و بخشهایی از سرزمینهای عربی دیده می‌شود. بنابراین سه نوع چرتکه متداول بوده است: تخت و میل یا نوع شنی ، نوع دارای مهره‌های بدون میله و نوع مهره‌های میله‌دار.

    فراسوی بی‌نهایت
    ساعت ٩:۳٦ ‎ب.ظ روز ۱۸ اسفند ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

     

    این چیز از هر چیز دیگری که در عالم وجود دارد بزرگتر است، چیزی آنقدر بزرگ که شما می‌توانید هر مقدار که دوست داشتید انتخاب کنید، ولی باز هم مقدار آن تغییر نخواهد کرد، این چیز هنوز هم به شکلی نامحدود بزرگ است. آن را بر هر عددی که دوست داشتید تقسیم کنید، هر عددی را که خواسته در آن ضرب یا با آن جمع کنید هیچ کدام از این اعمال در مقدار "بی‌نهایت" تاثیر نخواهد گذاشت. بی‌نهایت همیشه بی‌نهایت می‌ماند.

     

    تاریخچه

    بی‌نهایت واقعا ذهن انسان را به چالش می‌کشاند. اولین ریاضیدانی که با آن دست و پنجه نرم کرد، ریاضیدان آلمانی گئورگ کانتور بود که پس از اندیشیدن بسیار طولانی مدت در مورد این پدیده ریاضی، سرانجام در سال 1918 در یک بیمارستان روانی از دنیا رفت. اما پیش از آنکه ذهن کانتور دچار فروپاشی شود، او توانسته بود کشفیات حیرت انگیزی را در خصوص بی‌نهایت انجام دهد. اولین کشف این بود که تعداد زیادی بی‌نهایت وجود دارد. در واقع، تعداد بی پایانی بی‌نهایت وجود دارد که کانتور هر یک از آنها را یک عدد "ترانهایت" نام نهاده بود.


    تشخیص اینکه عددی اول است یا نه ؟
    ساعت ٥:٥٦ ‎ب.ظ روز ۳ اسفند ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،نرم افزار ریاضی

     

    در این سایت اگر شما عددی را ( حداکثر 7 رقمی ) درج کنید مشخص می کند که عددتون اول است یا نه ؟ همچنین عدد اول ماقبل و مابعد اون را هم به شما معرفی می کند !!

    تشخیص اول بودن اعداد


    زاویه
    ساعت ۳:٢۸ ‎ب.ظ روز ٢٥ بهمن ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

    از دوران یک نیم خط حول راسش یک ناحیه ای بوجود می آید که به آن زاویه می گویند. این دوران می توان در جهت عقربه های ساعت یا در جهت خلاف آن باشد ولی در مثلثات جهت دوران برای ایجاد یک زاویه جهت پادساعتگرد است و چنین زاویه ای را زاویه مثلثاتی می گویند. اگر نیم خطی را حول راسش چنان دوران دهیم که دوباره به نقطه شروع دوران بازگردد یک زاویه کامل یا تمام صفحه بوجود می اید. پس یک دایره خود یک زاویه کامل(دوران کامل) است. همچنین اگر نیم خط را چنان دوران دهیم که یک مسیر یک نیم رایره به مرکز راسش راطی کند یک زاویه نیم صفحه بوجود می آید. زاویه را با نام بردن راس یا نام بردن راس و دو ضلعش می خوانند.

    درجه:

    اگر محیط یک دایره دلخواه را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک درجه می نامند. به عبارت دیگر یک درجه یک سیصد و شصتم محیط یک دایره است.


    اصل لانه کبوتر
    ساعت ۱٢:۱۳ ‎ب.ظ روز ۱٧ بهمن ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

    اصل لانه کبوتر که به نام های «اصل جعبه کفش» یا «اصل کشویی دیر کله» مشهور است، اغلب برای پاسخ دادن به سوالات زیر مفید است:
    «آیا اشیایی وجود دارند که درخاصیت مشخصی صدق کنند؟»
    اگر اصل لانه کبوتر به طور موفقیت آمیزی به کار رود، تنها وجود چنین اشیایی را ثابت می کند و چیزی درباره روش یافتن اشیا و یا مشخص کردن تعداد آنها بیان نمی کند.



    شکل ساده اصل لانه کبوتری

    n کبوتر در k لانه قرار می گیرند. اگر n>k ،آنگاه تعدادی از لانه ها بیش از یک کبوتر خواهند داشت.

    برهان

    دلیل درستی این اصل، اغلب به برهان خلف ثابت می شود. زیرا، اگر اصل برقرار نباشد، آنگاه، هر لانه حداکثر یک کبوتر دارد و در این حالت، حداکثر کبوتر وجود خواهد داشت که با فرض و وجود کبوتر متناقص است. به دلیل بدیهی بودن استدلال به عنوان اصل پذیرفته می شود. دقت کنید که این اصل، اطلاعاتی درباره آن لانه هایی که حداقل دو کبوتر دارند ارائه نمی کند و تنها وجود چنین لانه هایی را تایید می کند.
    در استفاده از این اصل در حل مسایل، باید تصمیم گرفت که نقش کبوتر ها و لانه ها چگونه تعبیر شوند.


    ریاضیات و مدیریت ریسک
    ساعت ۱:٠٩ ‎ب.ظ روز ٩ بهمن ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

    بی‌گمان‌، هیچ چیزی به اندازه داشتن احساس امنیت برای انسان اهمیت ندارد. به دیگر سخن، نیاز به امنیت یکی از نیازهای مهم جامعه بشری است. علل و عوامل زیادی در ایجاد امنیت افراد تأثیر دارد. یکی از این عوامل، برخورد افراد از حداقل امکانات زندگی است که می‌تواند در شرایط رویاروئی با ریسک به وی کمک کند.
    ریسک در اصطلاح به معنی امکان وقوع یک خسارت و زیان اعم از مالى و یا غیر مالى در نتیجه انجام یک کار است .
    ریسک به صورت ذاتی در هر چیزی که ما انجام می دهیم وجود دارد و مدیریت ریسک بسادگی به ما کمک می کند که تصمیمات بهتری اتخاذ کنیم.
    مدیریت ریسک (Risk Managment) عبارتست از مجموعه فعالیت‌هایی که به شناسایی و ارزیابی ریسک ، توسعه استراتژی‌های مربوط به مدیریت آن و کم کردن ریسک با مدیریت منابع ، می‌پردازد.
    مدیریت ریسک داراى سه مرحله است : مدیریت ریسک ، ارزیابى ریسک و کاهش ریسک .


    عدد پی
    ساعت ۱٠:٤٧ ‎ق.ظ روز ٧ بهمن ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

    عدد پی عددگنگی است که در اکثر محاسبات ریاضی به نحوی حضور دارد و از مهمترین اعداد کاربردی در ریاضیات می‌باشدو در هندسه اقلیدسی دو بعدی، این عدد را نسبت محیط دایره به قطر دایره و یا مساحت دایره ای به شعاع واحد تعریف می‌کنند. در ریاضیات مدرن این عدد را در علم آنالیز و با استفاده از توابع مثلثاتی ، به صورت دقیق ریاضی تعریف می‌کنند.به عنوان نمونه عدد پی رادو برابر کوچکترین مقدار مثبت x ،که به ازای آن cos(x)=0 میشود تعریف می‌کنند.

    تاریخچه :

    بابلیان هنگامی که می‌خواستند مساحت دایره را حساب کنند،مربع شعاع آن را در 3 ضرب می‌کردند.البته لوح‌های قدیمی تری از بابلیان وجود دارد که مشخص می‌کند آنها مقدار تقریبی پی را برابر3.125 می‌دانستند.

     


    نقش ریاضیات در فناوری نانو
    ساعت ٩:٥٦ ‎ب.ظ روز ٥ بهمن ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

    دانش ریاضیات به عنوان خط مقدم جبهه علم مطرح است. ویژگی بدیهی ریاضیات در علوم نانو «محاسبات علمی» است.
    مدل‌های ریاضی، ستون‌های راهگشا به سوی بنیاد علم و تئوری‌های پیش بین هستند. مدل‌ها، رابط‌هایی بنیادین در پروسه‌های علمی هستند.

    یک مدل ریاضی بر پایه فرمولاسیون معادلات و نامعادلات اصول بنیادین استوار است و مدل درگیر با درک کامل پیچیدگیهای مسأله نظیر، جرم، اندازة حرکت و توازن انرژی است. در هر سیستم فیزیکی واقعی تقریب اجازه داده می‌شود، تا مدل را در یک قالب قابل حل عرضه کنند. اکنون می‌توان مدل را یا به صورت «تحلیلی» و یا بصورت «عددی» حل کرد. در این حالت مدلسازی ریاضی یک پروسه پیچیده است،زیرا می‌بایستی دقت و کارآیی را همزمان نشان دهد.

    الگوریتم‌های اصلی در حوزه‌های ریاضیات کاربردی و محاسباتی، علوم کامپیوتر، فیزیک آماری، نقش مرکزی و میان‌برساز را در حوزه نانو بر عهده خواهند داشت.

    در اینجا برخی از اثرات ریاضیات را در فناوری نانو می‌بینیم :

    • روشهای انتگرال گیری سریع و چند قطبی سریع: اساسی و الزامی به منظور طراحی کدهای مدار (White, Aluru, Senturia) و انتگرال گیری به روش Ewala در کد نویسی در حوزه‌های شیمی کوانتوم و شیمی مولکولی (Darden 1999)
    • روشهای« تجزیه حوزه»، مورد استفاده در شبیه‌سازی گسترش فیلم تا رسیدن به وضوح نانوئی لایه‌های پیشرو مولکولی با مکانیک سیالات پیوسته در مقیاسهای ماکروسکوپیک (Hadjiconstantinou)
    • تسریع روشهای شبیه سازی دینامیک مولکولی (Voter 1997)
    • روشهای بهبود مش‌بندی تطبیق پذیر: کلید روشهای شبیه پیوسته که ترکیب کنندة مقیاسهای ماکروئی، مزوئی، اتمی ومدلهای مکانیک کوانتوم از طریق یک ابزار محاسباتی است (Tadmor, Philips, Ortiz)
    • روشهای پیگردی فصل مشترک: نظیر روش نشاندن مرحله‌ای Sethian, Osher که در کدهای قلم زنی و رسوب‌گیری جهت طراحی شبه رساناها مؤثرند (Adalsteinsson, Sethian) و نیز در کدگذاری به منظور رشد هم بافت ها (Caflisch)
    • روشهای حداقل کردن انرژی هم بسته با روشهای بهینه سازی غیر خطی (المانی کلیدی برای کد کردن پروتیئن‌ها) (Pierce& Giles)
    • روشهای کنترل (مؤثر در مدلسازی رشد لایه نازک‌ها (Caflisch))
    • روشهای چند شبکه‌بندی که امروزه در محاسبات ساختار الکترونی و سیالات ماکرومولکولی چند مقیاسی بکار گرفته شده است.
    • روشهای ساختار الکترونی پیشرفته ، به منظور هدایت پژوهشها به سمت ابر مولکولها (Lee & Head – Gordon)

    تاریخچه عدد صفر
    ساعت ۱٠:۱٩ ‎ب.ظ روز ٢٤ دی ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،تاریخ ریاضی

    یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال بدنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.


    بیضی
    ساعت ٥:۳٤ ‎ب.ظ روز ٧ دی ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

    منحنیی (مسدود) واقع در یک صفحه که مجموع فواصل هر نقطه آن از دو نقطه ثابت (موسوم به دو کانون بیضی ) واقع در آن صفحه مقدارثابتی باشد. یکی از طرق رسم بیضی اینست که پس از انتخاب دو کانون ریسمانی بلندتر از فاصله دو کانون اختیار کرده دو انتهایش را در دو کانون نصب کنیم ، و مدادی را در داخل ریسمان انداخته بکشیم بطوری که دو قسمت ریسمان ممتد شود; حال اگر نوک مداد را با حفظ این حالت بر کاغذ بکشیم بیضیی حاصل میشود. (زیرا مجموع فواصل نوک مداد از دو کانون همواره مساوی طول ریسمان است ). این طریقه را رسم بیضی بحرکت اتصالی گویند، ومخصوصاً برای رسم بیضی بر زمین (مثلاً برای طرح حوض یا باغچه بیضی شکل ) میتوان آنرا بکار برد. برای رسم بیضی پرگارهای مخصوص نیز ساخته اند. بوسیله بریدن مخروط مستدیرالقاعده با صفحه نیز میتوان بیضی بدست آورد. و بیضی را قطع ناقص نیز میخوانند. مدار گردش هر سیاره بدور خورشید بیضیی است که خورشید در یکی از کانونهای آن قرار دارد (قوانین کپلر). نظر به اهمیت بیضی در مکانیک و علم نجوم بعضی از اصطلاحات مربوط به بیضی با اشاره اجمالی به برخی از خواص آن ذکر میشود:


    نوار موبیوس و توپولوژی
    ساعت ٩:۱٦ ‎ب.ظ روز ۱٦ آذر ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

    نوار موبیوس

    شاید تا به حال اسم توپولوژی را شنیده باشید . به نظر اسم عجیبی دارد و شاید فکر کنید موضوع خیلی پیشرفته ای باشد که از آن در کتاب های درسی دبیرستان موضوعی تدریس نمی شود . در واقع توپولوژی از شاخه های اصلی و گسترده ریاضیات می باشد و در طول سالها پیشرفت های زیادی کرده . اما اینگونه نیست که دانش آموزان از درک آن عاجز باشند . برعکس به دلیل داشتن ماهیت هندسی در خیلی از جاهای این علم تنها به کمی شهود نیازمندیم . توپولوزی در قسمت های مختلف ریاضیات مانند جبر ، آنالیز حقیقی و مختلط ، هندسه جبری و حتی ترکیبیات کاربرد های فراوان و عظیمی پیدا کرده به طوری که مطالعه ی هر یک از این شاخه ها بدون استفاده از مفاهیم توپولوژیک دشوار تر آن است که فکرش را بکنید . مطالعه ی علم توپولوژی به طور دقیق و آکادمیک نیاز به پیش نیازها و مطالعه ی زیادی دارد ولی بخش های بسیار مهمی از توپولوژی قسمت شهودی آن است که به نظر بنده مطالعه ی آن برای شما بسیار سود مند است .حتی چند سال پیش در این زمینه در مرحله ی اول المپیاد ریاضی کشور سوالاتی آمده بود . در زمینه ی توپولوژی شهودی منابع خوبی در اختیار ماست از جمله کتاب توپولوژی شهودی نوشته ی و.و.پراسلوف که آقای ارشک حمیدی آن را ترجمه کرده اند و انتشارات فاطمی هم ناشر آن است . همچنین سلسله مقالاتی هم تحت عنوان « آرش در سیاره تویاپ » چند سال پیش در نشریه ماهنامه ریاضیات چاپ شده که اگر بتوانید آنها را پیدا کنید منبع بسیار ارزشمندی است .


    رسم نمودار تابع به صورت online
    ساعت ۱:٠٧ ‎ب.ظ روز ٥ آذر ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: نرم افزار ریاضی ،مفاهیم ریاضی
    نانوتکنولوژی چیست؟
    ساعت ۸:٤٧ ‎ب.ظ روز ٢٢ آبان ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

     

    رایانه ها اطلاعات را تقریباً بدون صرف هیچ هزینه ای باز تولید می کنند. نانوتکنولوژی نیز علمی است که با آن می توان اضافه کنند (کنار هم قرار دهند). این امر ساختن خودکار محصولات را بدون نیروی کار سنتی همانند عمل نسخه برداری در ماشین های زیراکس میسر می کند. صنعت الکترونیک با روند کوچک سازی احیاء می گردد و کار در ابعاد کوچکتر منجر به ساخت ابزاری می شود که قادر به دستکاری اتم های منفرد مثل پروتئین ها در سیب زمینی و همانند سازی اتم های خاک، هوا و آب می گردد.

    پیوند علم مواد، شیمی و علوم مهندسی که نانوتکنولوژی نامیده می شود، عرصه ای را به وجود می آ ورد که ماشین آلات خود تکثیر کننده محصولاتی از اتم های اولیه ارزان تولید می کنند.


    ویژگیهای مهم ریاضیات
    ساعت ۱:۱٤ ‎ب.ظ روز ۱ خرداد ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

    انتزاعی بودن

    انتزاعی بودن ، حتی در حساب ساده هم دیده می‌شود. با عددهای مجرد را به کار می‌بریم، بدون این که هر بار به بستگی آنها با چیزهای مشخص توجه کنیم. در هندسه جدول ضرب را به روش انتزاعی یاد می گیریم، جدولی که عددها را به طور کلی در هم ضرب می کند، نه عده بچه‌ها را در عده سیبها و یا عده سیبها را در بهای هر سیب و غیره.
    در هندسه هم‌چنین است: خط راست بررسی می‌شود و نه نخی که محکم کشیده شده باشد و نیز در مفهوم خط هندسی ، هرگونه ویژگی دیگری جز وجود امتداد ، از آن کنار گذاشته می‌شود. مفهوم کلی درباره شکل هندسی به این ترتیب به دست می‌آید که شیء واقعی را از همه ویژگی‌هایی که دارد، بجز شکل فضایی و اندازه‌های آن جدا کنیم.
    اینگونه انتزاع‌ها ، ویژه همه بخش‌های ریاضیات است و دو مفهوم عدد درست و شکل هندسی ، نخستین و ساده ترین آنها را تشکیل می‌دهد. پس از این دو مفهوم ساده ، انتزاع‌های فراوان دیگری قرار دارد که به سختی می‌توان آنها را شرح داد، زیرا به آن درجه از انتزاع می‌رسد که
    عددهای مختلط ، تابع‌ها ، دیفرانسیل‌ها ، فونکسیون‌ها ، فضاهای n بعدی و حتی بی‌نهایت بعدی و غیره را به وجود می‌آورد. این مفهوم‌ها از نظر انتزاعی بودن ، هر یک در مرحله بالاتری نسبت به دیگری قرار دارد و به چنان پایه‌ای از انتزاع رسیده‌اند که بنظر می‌رسد هر گونه بستگی با زندگی را از دست داده‌اند، تا جایی که به نظر آدم ساده و معمولی "چیزی درباره آنها نمی‌توان گفت بجز اینکه همه آنها نامفهوم‌اند".

    دقت منطقی و قانع کننده

    استدلال ریاضی ، دارای آن چنان دقتی است که برای هر کس که آن را بفهمد، مسلم و قانع کننده است. حتی از دوره دبیرستان هم دیده می‌شود. خود واقعیت‌های ریاضی هم انکار ناپذیرند. بی‌جهت نیست که می‌گویند: "ثابت کردن مثل دو دو تا چهار تاست". در اینجا بویژه رابطه ریاضی  به عنوان حقیقی مسلم و انکارناپذیر به کار رفته است. ولی دقت ریاضیات هم مطابق نیست. ریاضیات پیش می‌رود و قانون‌های آن یک بار و برای همیشه منجمد نمی‌ماند. قانون‌های ریاضی تغییر می‌کند و می‌تواند به موضوع دانش‌های مختلف خدمت کند و خدمت هم می‌کند.

    گسترش استثنایی و بی اندازه کاربرد ریاضیات

    نخست ، همیشه و هر ساعت ؛ در تولید ، در زندگی و زندگی اجتماعی ، گسترده‌ترین و همه‌گیرترین مفهوم‌ها و نتیجه‌های ریاضی را بکار می‌بریم بدون این که درباره آنها فکر کنیم. به این ترتیب که وقتی حساب روزها و یا خرج زندگی را نگاه می‌داریم، از حساب و وقتی که رویه مربع را محاسبه می‌کنیم، از هندسه بهره می‌بریم. این نتیجه‌ها خیلی ساده‌اند، ولی یادآوری این مطلب مفید است که زنانی در دوره‌های باستان ، زمانی که ریاضیات تازه پدید می‌آمد ، اینها در ردیف بزرگترین پیشرفت ها به شمار می رفت.

    دوم ، صنعت امروز بدون وجود ریاضیات امکان پذیر نیست. بدون محاسبه‌های کم و بیش دشوار ، حتی یک پیشرفت فنی هم به انجام نمی‌رسد. ریاضیات در پیشبرد رشته‌های صنعت نقش بسیار مهم دارد.

    سرانجام ، به تقریب همه دانش‌ها بطور کم و بیش اساسی از ریاضیات استفاده می‌کنند. قانون‌های "دانش‌های پایه" مکانیک ، نجوم ، فیزیک و تا اندازه زیادی شیمی بطور معمول بوسیله فرمول و دستور) بیان می‌شود و نظریه‌های آنها زمانی پیشرفت ‌می‌کند که از دستگاههای ریاضی بطور گسترده‌ای استفاده شود. بدون ریاضیات ، پیشرفت این دانش‌ها ممکن نیست و بهمین دلیل است که نیازهای مکانیک ، اخترشناسی و فیزیک در پیشرفت ریاضیات همیشه اثری قطعی و مستقیم داشته است. در دیگر دانش‌ها نقش ریاضیات کمتر است ولی در آنجاها هم کاربرد زیاد پیدا می‌کند. البته روش ریاضی را نمی‌توان، همان‌طور که در فیزیک به کار می‌رود. در پدیده‌های پیچیده‌ای چون زیست‌شناسی و جامعه‌شناسی بکاربرد. ولی به هر صورت ، ریاضیات به تقریب در همه دانش‌ها ، از مکانیک گرفته تا اقتصاد به کار می‌رود.

    دقت منطقی و قانع کننده

    استدلال ریاضی ، دارای آن چنان دقتی است که برای هر کس که آن را بفهمد، مسلم و قانع کننده است. حتی از دوره دبیرستان هم دیده می‌شود. خود واقعیت‌های ریاضی هم انکار ناپذیرند. بی‌جهت نیست که می‌گویند: "ثابت کردن مثل دو دو تا چهار تاست". در اینجا بویژه رابطه ریاضی  به عنوان حقیقی مسلم و انکارناپذیر به کار رفته است. ولی دقت ریاضیات هم مطابق نیست. ریاضیات پیش می‌رود و قانون‌های آن یک بار و برای همیشه منجمد نمی‌ماند. قانون‌های ریاضی تغییر می‌کند و می‌تواند به موضوع دانش‌های مختلف خدمت کند و خدمت هم می‌کند.

    گسترش استثنایی و بی اندازه کاربرد ریاضیات

    نخست ، همیشه و هر ساعت ؛ در تولید ، در زندگی و زندگی اجتماعی ، گسترده‌ترین و همه‌گیرترین مفهوم‌ها و نتیجه‌های ریاضی را بکار می‌بریم بدون این که درباره آنها فکر کنیم. به این ترتیب که وقتی حساب روزها و یا خرج زندگی را نگاه می‌داریم، از حساب و وقتی که رویه مربع را محاسبه می‌کنیم، از هندسه بهره می‌بریم. این نتیجه‌ها خیلی ساده‌اند، ولی یادآوری این مطلب مفید است که زنانی در دوره‌های باستان ، زمانی که ریاضیات تازه پدید می‌آمد ، اینها در ردیف بزرگترین پیشرفت ها به شمار می رفت.

    دوم ، صنعت امروز بدون وجود ریاضیات امکان پذیر نیست. بدون محاسبه‌های کم و بیش دشوار ، حتی یک پیشرفت فنی هم به انجام نمی‌رسد. ریاضیات در پیشبرد رشته‌های صنعت نقش بسیار مهم دارد.

    سرانجام ، به تقریب همه دانش‌ها بطور کم و بیش اساسی از ریاضیات استفاده می‌کنند. قانون‌های "دانش‌های پایه" مکانیک ، نجوم ، فیزیک و تا اندازه زیادی شیمی بطور معمول بوسیله فرمول و دستور) بیان می‌شود و نظریه‌های آنها زمانی پیشرفت ‌می‌کند که از دستگاههای ریاضی بطور گسترده‌ای استفاده شود. بدون ریاضیات ، پیشرفت این دانش‌ها ممکن نیست و بهمین دلیل است که نیازهای مکانیک ، اخترشناسی و فیزیک در پیشرفت ریاضیات همیشه اثری قطعی و مستقیم داشته است. در دیگر دانش‌ها نقش ریاضیات کمتر است ولی در آنجاها هم کاربرد زیاد پیدا می‌کند. البته روش ریاضی را نمی‌توان، همان‌طور که در فیزیک به کار می‌رود. در پدیده‌های پیچیده‌ای چون زیست‌شناسی و جامعه‌شناسی بکاربرد. ولی به هر صورت ، ریاضیات به تقریب در همه دانش‌ها ، از مکانیک گرفته تا اقتصاد به کار می‌رود.

     


    واژگان هندسه
    ساعت ٥:٤۳ ‎ب.ظ روز ٧ اردیبهشت ۱۳۸٧   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی
              
    معادل فارسی
              

    تعریف

      انتقال جابجا شدن شکل بر روی خط راست
    translation
      ابعاد اندازه های یک جسم یا شکل در جهت های مختلف
    dimension
      بازتاب بازتاب شما در آینه عین خود شماست، اما نه کاملا یعنی اگر یک خط تقارن روی یک شکل متقارن قرا دهید شکل سمت راست آن درست شبیه سمت راست آن دیده میشود
    reflection
      بیضی بیضی شکلی هندسی دارای دو کانون است. در فا، سیاره ها روی یک مسیر بیضی شکل دور خورشید میگردند.
    ellipse
      پرگار وسیله ای برای رسم کمانها و دوایر است. پرگار دو پایه دارد که به انتهای یکی از آنها یک سوزن نوک تیز و به انتهای دیگری یک مداد یا خودکار متصل است.
    compass
      پرسپکتیو دو شکل متشابه را میتوان با استفاده از تبدیل های همنهشتی به مکان های نسبی خاصی انتقال داد که در آنها پاره خطهای متناظر موازی باشند.در این وضعیت گفته میشود که شکل های مورد بحث در پرسپکتیوند
    perspective
      تقارن شکلهایی دارای تقارن هستند که بتوانیم دو یا چند قسمت آن را روی هم منطبق کنیم.
    symmetry
      حجم حجم یک جسم مقدار فضایی است که اشغال میکند و شما برای بدست آوردن هر حجم منتظم میتوانید از فرمول خاص آن استفاده کنید
    volume
      دایره شکل متقارنی سات که فاصله همه نقطه های روی محیط آن، از مرکز به یک اندازه است
    circle
      دوران نوعی انتقال است که در آن یک شکل تحت یک زاویه خاص به موقعیت ثانویه انتقال پیدا می کند.
    rotation
      ذوزنقه چهار ضلعی است که در آن دو ضلع با هم موازی و دو ضلع ناموازی اند
    trapezoid
      زاویه مقدار چرخش یا گردش یک چیز است که معمولا با درجه اندازه گیری میشود.
    angle
      سهمی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از نقطه و خطی مفروض به یک فاصله اند
    parabola
      کره یکی از حجم های هندسی با سطح منحنی است. این حجم کاملا متقارن است، چون هر نقطه که روی سطح آن در نظر بگیریم، فاصله اش تا مرکز یک مقدار مشخص است.
    sphere
      کمان یک منحنی است که اگر آن را کامل کنید، دایره بدست می آید
    arc
      مثلث یک شکل سه ضلعی است که مجکوع زوایای داخلی آن 180 درجه است
    triangle
      محور خطی فرضی است که از وسط اجسام میگذرد.خط های افقی و عمودی روی نمودار هم ، محور نامیده می شوند. از محور ها برای تعیین مختصات نقطه روی نمودار استفاده می شود.
    axis
      محیط لبه ها یا مرز یک سطح است. پیرامون هر شکل بسته ، محیط آن نامیده میشود.
    perimeter
      محدب سطح منحنی محدب انحنایی مانند سطح بیرونی توپ دارد.
    convex
      مخروط حجمی که راس آن یک نقطه و قاعده آن یک دایره است
    cone
      مربع یک چهار ضلعی است با چهار ضلع و چهار زاویه مساوی
    square
      مساحت رویه جسم فضایی را میتوان در اصل به عنوان مجموع مساحات هر یک از رویه ها ی محصور کننده معین کرد
    surface area
      مستطیل یک چهار ضلعی است که ضلع های آن دو به دو با هم مساوی هستند و همه زاویه های آن قائمه اند
    rectangle
      مقعر سطح منحنی مانند سطح داخلی یک کاسه است
    concave
      مکان هندسی مجموعه ای از نقاط تعریف شده توسط قاعده ای است که تشخیص این مطلب را ممکن میکند که هر نقطه مفروضی به آن مجموعه متعلق است یا خیر
    locus
      مکعب حجمی است که از شش وجه مربع شکل درست شده است.
    cube
      نقاله وسیله ای برای اندازه گیری و رسم زاویه.نقاله ها معمولا بر اساس درجه مدرج شده اند
    protractor
      وتر پاره خطی است که دو سر یک کمان را به هم وصل میکند
    chord
      وتر(مثلث قائم الزاویه) بزرگترین ضلع مثلث قائم الزاویه است.
    hypotenuse
      وجه هر سطح صاف یک حجم هندسی، یک وجه است و با یالهای شکل احاطه شده است
    face
      هم محور دو شکل یا جسم را که محور مشترک داشته باشند ، هم محور هستند
    coaxial
      هرم یکی از حجم های هندسی است که وجه های آن مثلث هستند. وجه ها در نقطه ای مشترک به نام راس به هم می رسند.قاعده هرم میتواند مثلث یا مربع و یا چند ضلعی دیگری باشد
    pyramid
      هذلولی مکان هندسی نقاطی از صفحه است که تفاضل فواصل آنها از دو نقطه ثابت مقدار ثابت 2a است.
    hyperbola
      هندسه مسطحه قسمتی از هندسه که با شکلهای دو بعدی سر و کار دارد
    plane geometry
      هندسه فضایی شاخه ای از هندسه اقلیدسی است.موضوع آن عبارت است از صورت،مکان نسبی،اندازه،و سایر ویژگیهای متری اشکال هندسی که بر یک صفحه قرار ندارند.
    solid geometry
      هندسه ترسیمی نگاشت های فضای سه بعدی را بروی یک صفحه ترسیم مسطح بررسی کرده و به کار میبرد.
    descriptive geometry
      یال پارهخطهای حاصل از برخورد دو وجه را گویند
    edge



    مدل‌ ریاضی دانه‌های برف
    ساعت ۱٢:٥٩ ‎ب.ظ روز ٤ اسفند ۱۳۸٦   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،کاربرد ریاضی

     با اجرای این مدل در شرایط مختلف، محققان قادرند دامنه‌ی گسترده‌ای از شکل‌های دانه‌های برف طبیعی را بسازند امروزه دانه‌های سه‌بعدی برف می‌توانند با استفاده از برنامه‌ای -که توسط ریاضیدانان در دانشگاه « دیویس کالیفورنیا» (UC Davis) و دانشگاه «وسیکانسین- مادیسون» (Wisconsin- Madison) رشد پیدا کنند- در یک کامپیوتر ساخته می‌شوند. به‌گزارش سایت دانشگاه «دیویس کالیفورنیا» (UCDavis)، «جانکو گراونر» (Janko Gravner) پرفسور ریاضیدان دانشگاه «دیویس کالیفورنیا» (UCDavis) می‌گوید: هیچ دو دانه‌ی برفی همانند هم نیستند اما ممکن است خیلی شبیه همدیگر باشند. این‌که چرا خیلی با هم فرق نمی‌کنند، یک معما است. مدلی که بتواند آن‌ها را پردازش کند، ممکن است بتواند بعضی از این سؤال‌ها را جواب بدهد. پیچیده، به‌طور باور نکردنی تغییرپذیر و زیبا! دانه‌های برف حداقل از سال 1611 میلادی تا الان، معمایی پیچیده‌ای برای ریاضیدانان بوده است؛ وقتی که «جوهاناز کپلر» (Johannes Kepler) پیش‌بینی کرد که ساختمان شش گوش می‌تواند اساس یک ساختمان کریستالی باشد. دانه‌های برف از بخار آب اطراف بعضی انواع هسته‌ها مثل ذره‌ای از گرد وغبار رشد می‌کنند. سطح کریستال درحال رشد پیچیده و نیمه مایع است که در آن مولکول‌های آب از بخارهای محیط می‌توانند جذب یا جدا شوند. مولکول‌های آب بیش‌تر در بخش تقعر کریستال‌ها جذب می‌شوند. این مدل توسط «گراونر» (Gravner) و «دیوید گریفیت» (David Griffeath) از دانشگاه «ویسکانسین مادیسون» (Wisconsin- Madison) ساخته شده است و از فاکتورهای زیر در این مدل استفاده کرده‌اند: با اجرای این مدل در شرایط مختلف، محققان قادرند دامنه‌ی گسترده‌ای از شکل‌های دانه‌های برف طبیعی را بسازند.در تلاش برای مدل‌سازی برای همه‌ی مولکول‌های آب، فضا به المان‌های سه‌بعدی به‌اندازه‌ی یک میکرومتر تقسیم شدند. این برنامه در طول حدود 24 ساعت یک دانه‌ی برف را در یک کامپیوتر رومیزی پیشرفته تولید می‌کند. همانند دنیای واقعی، بخش‌های سوزنی‌شکل‌ بیش‌ترین کاربرد را در طرح دانه‌ها‌ی برف‌سازی توسط کامپیوتر دارد. این در حالی است که دانه‌های برف شش‌گوش کلاسیک یا «درختی» (Dendritic) یا دانه‌های برف «پر» مانند، هم در طبیعت و هم در شبیه‌سازی کامپیوتر کم‌تر بوده و استفاده شده‌اند. «گراونر» (Gravner) و «گریفیت» (Griffeath) می‌خواهند چندین دانه‌ی برف جدید را طراحی کنند. یکی از این طرح‌ها، به‌شکل پروانه است که شبیه سه پروانه است که از جلو به‌هم چسبیده‌اند. «گراونر» (Gravner) می‌گوید: به‌نظر می‌رسد دلیلی ندارد که چنین طرح‌هایی در طبیعت ظاهر نشوند اما در عین حال بسیار شکننده و بی‌دوام هستند. تعجب‌‌آور آن‌که ساختار سه‌بعدی همراه با ساختارهای پیچیده‌ای که اغلب بین دو صفحه به‌وجود می‌آیند از اهمیت بالایی برخوردارند. این مسأله را هنگام مشاهده‌ی دانه‌ی برف واقعی به‌سختی می‌توان رؤیت کرد اما با استفاده از میکروسکوپ الکترونی در مطلعه‌های دقیق از دانه‌های برف واقعی می‌توان مشاهده کرد.

     


    روشهای حل مساله
    ساعت ۳:٠٤ ‎ب.ظ روز ٢٩ بهمن ۱۳۸٦   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

    1 ) جستجو برای الگو: همواره کار حل مساله را با نوعی ادراک شهودی از مساله شروع می کنیم و با بررسی چند حالت خاص به سوی الگوسازی برای حل کامل آن جلو می رویم.

     ۲) رسم شکل: در هر مساله ای که امکانپذیر باشد رسم یک شکل (اعم از هندسی یا یک نمودار و غیره) می تواند در یافتن حل مساله الهام بخش باشد و رابطه بین اجزا مساله را بهتر نمایان می سازد.

    ۳) صورتبندی مساله معادل: در بخش قبل دیدیم که گام نخست در حل مساله عبارت است از جمع آوری داده - جستجو - فهمیدن مساله - برقراری ارتباط بین اجزا - حدس زدن و تجزیه تحلیل. ولی اگر همه این کارها به روش معقولی میسر نباشد چه کنیم؟ یعنی اینکه ممکن است کارهای محاسباتی خیلی پیچیده باشد و یا به سادگی نتوانیم حالتهای خاصی را مطرح کنیم تا به بینش لازم برسیم.آنچه در چنین شرایطی توصیه می شود این است که مساله را با مساله ای معادل ولی ساده تر جایگزین کنیم. راه کلی در این گونه معادل سازی به بینش و تجربه های عمومی باز می گردد ولی کارهایی از قبیل دستکاریهای جبری یا مثلثاتی و تفسیر مجدد مساله با زبانی دیگر می تواند موثر باشد.

     ۴) تغییر مساله: در بعضی مسائل می توانیم مساله مورد نظر را به مساله دیگری تبدیل کنیم. این دو مساله لزوما معادل یکدیگر نیستند ولی حل مساله دوم حل مساله اول را نتیجه می دهد.

    ۵) انتخاب نمادهای مناسب: از نخستین گامها در حل مساله های ریاضی تبدیل مساله به صورتی نمادین می باشد. در انتخاب نمادها باید هر ایده کلی را ملحوظ داشته و آن را با نمادی بیان کنیم. بی دقتی در انتخاب نمادها ممکن است به از بین رفتن یا مبهم شدن بعضی از روابط منجر شود.

    ۶) استفاده از تقارن: وجود تقارن در یک مساله موجب می شود که با عملیات کمتری مساله را به جواب برسانیم.

    ۷) تجزیه به حالتهای ساده تر: گاهی اوقات می توان یک مساله را به تعدادی مساله ساده تر و کوچکتر تبدیل کرد که هر کدام از این مسائل ساده تر را می توان جداگانه در نظر گرفت.

    ۸) کار عقب رونده: کار عقب رونده یعنی اینکه نتیجه مورد نظر را مفروض گرفته شروع به استنتاج هایی از آن کنیم تا به یک مساله حل شده برسیم. در این صورت گامهای معکوسی را در نظر بگیریم تا به نتیجه مطلوب دست پیدا کنیم.

     ۹) بررسی نقیض: استفاده از تناقض یعنی مفروض گرفتن نادرستی حکم و با استنتاج به نتیجه نادرست یا متناقضی رسیدن از روشهای آشنا در ریاضیات است.

    ۱۰) زوجیت: ایده ساده زوج و فرد بودن یکی از ابزارهای بسیار قوی در حل مساله است که کاربردهای وسیعی دارد.

    ۱۱) بررسی حالتهای حدی: در برخورد اولیه با مساله بعضی اوقات تغییردادن پارامترها بین حدهای پایین و بالای ممکن آنها ایده هایی برای حل مساله به همراه خواهد داشت.

     ۱۲) تعمیم: معمولا ساده سازی یک مساله راهگشای حل آن است. اما در بعضی موارد حالت تعمیم یافته مساله سهل تر قابل حل است و حالت مورد نظر را می توان به عنوان یک حالت خاص نتیجه گرفت. در واقع ایده تعمیم و در کنار آن مجرد سازی ویژگی خاص ریاضیات نوین است. در پایان اشاره می کنم که سعی کنید یک مساله را در صورت امکان به چند روش حل کنید. این کار باعث بهبود سرعت و خلاقیت شما در حل مسائل دیگر می شود. روشهای مختلف حل مساله بخشهایی از زوایای پنهان مساله را برای شما آشکار می کند


    اعداد متحابه
    ساعت ۱٠:٤٥ ‎ق.ظ روز ۱٤ دی ۱۳۸٦   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

     

     

     

    گاهی پیش می آید که هنگام انجام اعمال  محاسباتی احساس می کنیم روابط خاصی بین برخی از اعداد برقرار است .

     

    جالب است بدانید روابط بین اعداد از هزاران سال پیش همواره مورد توجه بشر بوده تا جایی که گاهی به آن نسبت سحر و جادو می دادند.

     

     دو عدد را” متحابه” گوییم هرگاه مجموع مقسوم علیه های هر یک با دیگری برابر باشد. به عنوان مثال اعداد ۲۸۴ و ۲۲۰ را در نظر بگیرید مجموع مقسوم علیه های عدد ۲۸۴ برابر با عدد ۲۲۰ است و مجموع مقسوم علیه های عدد ۲۲۰ برابر با ۲۸۴ است. کشف این اعداد را به فیثاغورث نسبت داده اند. این زوج عددی در هاله ای از عرفان پوشیده شدند و بعد ها این عقیده ی خرافی پدید آمد که دو طلسم حاوی این اعداد دوستی تمام عیاری بین حاملین آن ها ایجاد خواهند کرد. این اعداد نقش مهمی در سحرو جادو واحکام نجوم و طالع بینی پیدا کردند .

     

     زوج های  عددی متحابه دیگری نیز وجود دارد ازجمله اعداد ۱۷۲۹۶ و ۱۸۴۱۶ که توسط پیر دو فرما (Pierre de Fermat) عددشناس بزرگ فرانسوی در سال ۱۶۳۶ ارائه گردید.البته اخیرا محققین دریافته اند که کشف فرما در واقع کشف مجددی بوده و این زوج عددی را قبلا ابن البنای مراکشی ( ۱۲۵۶-۱۲۳۱) در اواخر قرن سیزدهم یا اوایل قرن چهاردهم شاید با استفاده از فرمول ثابت بن قره کشف کرده بوده است. دو سال بعد ریاضی دان و فیلسوف فرانسوی  رنه دکارت زوج سومی ارائه داد. ریاضی دان سوئدی لئونارد اولر جستجوی سازمان یافته ای برای یافتن اعداد متحابه به عمل آورد و در سال ۱۷۴۷ لیستی از ۳۰ زوج را عرضه کرد که بعدا به بیش از ۶۰ زوج گسترش یافت. مساله ی عجیب دیگر در تاریخ این اعداد  کشف اعداد متحابه دور از نظر مانده و نسبتا کوچک ۱۱۸۴ و ۱۲۱۰ به وسیله ی نوجوان ۱۶ ساله ی ایتالیایی نیکولو پاگانینی در سال ۱۸۶۶ بود.امروزه بیش از ۱۰۰۰ زوج عدد متحابه به ثبت رسیده است اما جستجو برای یافتن زوج های دیگر همچنان ادامه دارد.شما هم می توانید در این جستجو سهمی داشته باشید.

     

     


    مکان هندسی
    ساعت ٤:۳٢ ‎ب.ظ روز ۳ دی ۱۳۸٦   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

     

    مکان هندسی مجموعه نقطه هایی از صفحه یا فضا است که داراس ویژگی مشترکی باشند. به عبارت دیگر هر نقطه در این مجموعه دارای این ویژگی است و هر نقطه که این ویژگی را داشته باشد عضوی از این مجموعه است.
    به این ترتیب با تعریف این مفهوم میتوان تعاریف را ساده تر بیان نمود.
    به عنوان مثال می توان دایره را چنین تعریف کرد:
    مکان هندسی نقاطی از صفحه که از یک نقطه ثابت به نام مرکز به یک فاصله میباشند دایره می گوییم. در این تعریف مشاهدی می شود هر نقطه عضو این مکان هندسی از یک نقطه ثابت(مرکز دایره) به یک فاصله معین است . هر نقطه که از این نقطه ثابت به فاصله معین گفته شده باشد عضو این مکان هندسی است.
    فایده دیگر این نوع تعریفات این است که با استفاده از آنها می توان به سادگی برای اشکال هندسی معادله نوشت.

     

    برای مشخص کردن مکان هندسی می توان به این صورت عمل کرد:
    1- به اندازه کافی نقطه هاای را که در ویژگی داده شده صدق می کنند پیدا کنید.
    2- آن نقطه ها را به همدیگر وصل کنید تا تصریری شهودی از مکان هندسی مورد نظر بیابید.
    3- مکان هندسی را توصیف کنید. سپس بررسی کنید که آیا هر نقطه در مجموعه نقطه هایی که یا فته اید در ویژگی داده شده صدق می کند و بلعکس، آیا هر نقطه که در این ویژگی صدق می کند در مجموعه ای که یا فت کرده اید قرار دارد یا نه؟

     


    هندسه نا اقلیدسی ، تلاشهای اولیه
    ساعت ٤:٠٧ ‎ب.ظ روز ۳ دی ۱۳۸٦   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی
     
     
    نیکلای لوباچفسکی
     
    نیکلای ایوانویچ لباچفسکی (Lobachevsky, Nikolay Ivanovich) از جمله اولین کسانی بود که قواعد هندسه اقلیدسی را که بیش از 2000 سال بر علوم مختلف ریاضی و فیزیک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسیه بتواند پایه های هندسه اقلیدسی را به لرزه در بیاورد و پایه های علم در قرن نوزدهم را پی ریزی کند.

    خیال نداریم راجع به خود او صحبت کنیم بلکه می خواهیم بطور مختصر بیان کنیم که او چه کرد. در میان اصول هندسه اقلیدسی - که راجع به آنها در آینده صحبت خواهیم کرد - اصلی وجود دارد به اینصورت : "از هر نقطه خارج یک خط نمی توان بیش از یک خط موازی - در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند - به موازات آن خط رسم کرد".

    در طول سالها این اصل اقلیدس مشکل بزرگی برای ریاضی دانان بود. چرا که ظاهری شبیه به قضیه داشت تا اصل. مقایسه کنید آنرا با این اصل اقلیدس که می گوید بین هر دو نقطه می توان یک خط راست کشید و یا اینکه همه زوایای قائمه با هم برابر هستند.

    حقیقت آن است که بسیاری از ریاضی دانان سعی کردند که این اصل اقلیدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز این امر ممکن نشد. حتی خیام در برخی مقالات خود سعی در اثبات این اصل کرد اما او نیز همانند سایرین به نتیجه نرسید.

    لباچفسکی (1792 - 1856) نیز همانند بسیاری از دانشمندان علوم ریاضی سعی در اثبات این اصل کرد و هنگامی که به نتیجه مطلوب نرسید نزد خود به این فکر فرو رفت که این چه هندسه ای است که بر پایه چنین اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه میان هندسه و دنیای واقعی را پیدا کند.

    او معتقد بود اگر نتوانیم از سایر اصول هندسه اقلیدسی این اصل را ثابت کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم. اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسیار چنین بیان کرد :

    "از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد"

    هر چند پس از این فرض بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما او توانست بر اساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچگونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.

    موسیقی اعداد
    ساعت ٩:٤٥ ‎ق.ظ روز ٢٤ دی ۱۳۸٥   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی ،نرم افزار ریاضی ،کاربرد ریاضی

     آیا تا به حال به صدای عدد پی گوش داده اید! شاید به نظر شما این حرف کمی مسخره به نظر آید ولی در دنیای علم و هنر امروز موسیقیدانان و ریاضی دانان زیادی در دانشگاه ها و موسسات علمی دنیا مشغول بررسی این موضوعند و تا کنون الگوریتم های بسیاری نوشته شده که می توانند عدد پی یا دنباله ی فیبوناچی یا دنباله های DNA یا یک فرکتال و یا هر رشته ی عددی یا حروفی دیگر را به موسیقی تبدیل کنند.
    جاناتان میدلتون (
    professor Jonathan N. Middleton )، استاد موسیقی دانشگاه واشنگتن شرقی به همراه تیمی از دانشجویان ریاضی و علوم کامپیوتر نرم افزاری تولید کرده اند که این عمل را انجام می دهد. آدرس این نرم افزار عبارت است از : http://musicalgorithms.ewu.edu
    میدلتون معتقد است این نرم افزار کاربرد زیادی در موسیقی خواهد داشت. خود وی به کمک این نرم افزار یک سمفونی با نام
    Redwoods Symphony ساخته است. در واقع او کدهای ژنتیکی درخت Redwood را به نرم افزار داده و پس از چندی موسیقی مورد نظرش را تحویل گرفته . البته برای کامل کردن این سمفونی حدود یک سال وقت مصرف کرده ولی ملودی و تم های اصلی از خروجی نرم افزار برداشت گردیده است.

    به نقل از سایت المپیاد ریا ضی : http://olympiad.roshd.ir/News/News.aspx?OlympiadName=Mathematics


    اعداد مثلثی
    ساعت ٤:٤٢ ‎ب.ظ روز ۱۸ آذر ۱۳۸٥   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی
     

     
    1، 3، 6، 10، 15، 21 و ... بنظر شما این اعداد چه ویژگی مشترکی دارند؟ اگر دست به قلم نشویم و شکل نکشیم و آزمایش نکنیم، فهمیدن ارتباط میان آنها کمی دشوار است. به این شکل دقت کنید مشکل شما حل خواهد شد. به اعداد موجود در این سری، اعداد مثلثی می گوییم.

    1 = 1
    3= 1+2
    6= 1+2+3
    10= 1+2+3+4
    15= 1+2+3+4+5
    21= 1+2+3+4+5+6
    . . .

    اما شکل اول یک ایده جدید به ما می دهد که می توانیم این اعداد را همانند پاراگراف بالا نیز تفسیر کنیم.

    به بیان دیگر می توان گفت که هرعدد مثلثی تشکیل شده است از حاصل جمع یکسری از اعداد متولی طبیعی. به این معنی که اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد از اعداد طبیعی، دومین معادل است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی، سومین معادل است با مجموع س عدد از اعداد طبیعی و ... و بالاخره n امین عدد مثلثی معادل است با مجموع n عدد از اعداد طبیعی که اگر ریاضیات دبیرستان را هنوز فراموش نکرده باشید بخاطر خواهید آورد که مقدار این عدد معادل n(n+1)/2 خواهد بود. (یک تصاعد ساده حسابی)

     
    مجموع دو عدد مثلثی متوالی

     
    اگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عدد مربع می شود. مثلا" 1+3=4 یا 3+6=9 یا 6+10=16 و ... البته دلیل آن ساده است به شکل دوم توجه کنید و ببینید که چگونه دو مثلث قرمز و سبز روی هم تشکیل یک مربع را می دهند. (سعی کنید با استدلال ریاضی هم این موضوع را ثابت کنید، ساده است از همان رابطه بالا استفاده کنید.)

    مطلب اخیر اغلب بصورت قضیه "مربع هر عدد طبیعی برابر است با مجموع دو عدد مثلثی متوالی" نیز مطرح می شود.

    آشنایی با نسبت طلایی
    ساعت ٦:۳۱ ‎ب.ظ روز ٢٤ اردیبهشت ۱۳۸٥   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی
     
     


    نحوه محاسبه نسبت طلایی
     
    دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام "نسبت طلایی" یا Golden Ratio.

    پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی a2=a*b+b2 را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا" 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

    شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد.

     

     

     

     


    برش اهرام و نسبت طلایی
     
    اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

    مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi+b2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

    طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

    کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد".

    تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد.

    تاریخچه حساب یا حساب دیفرانسیل و انتگرال
    ساعت ۱٢:٢٠ ‎ب.ظ روز ٢٠ فروردین ۱۳۸٥   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی


    حساب یا حساب دیفرانسیل و انتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است. حساب دیفرانسیل و انتگرال در آغاز برای براورده کردن نیازهای دانشمندان قرن 17 ابداع شد.البته لازم به ذکر است ریشه های این علمرا میتوان تا هندسه کلاسیک یونانی میتوان ردیابی کرد
    حساب دیفرانسیل و انتگرال به دانشمندان امکان می داد شیب خمها را تعریف کنند، زاویه آتشباری توپ را برای حصول بیشترین برد بدست آورند،و زمانهایی که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را از هم دارند،پیش بینی کنند. پیش از پیشرفتهای ریاضی که به کشف بزرگ آیزاک نیوتن و لایب نیتس انجامید،یوهانس کپلر منجم با بیست سال تفکر،ثبت اطلاعات،و انجام محاسباث سه قانون حرکت سیارات را کشف کرد:

    قانون اول کپلر

     

    1- هر سیاره در مداری بیضی شکل حرکث میکندکه یک کانونش در خورشید است
    2- خط واصل بین خورشید و ستاره در مدتهای مساوی مساحات مساوی را طی میکنند
    3- مربع گردش هر سیاره به دور خورشید،متناسب است با مکعب فاصله متوسط آن سیاره از خورشید
    ولی استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای است                                                                                               

                                                                                                      

    قلمرو امروزی حساب دیفرانسیل و انتگرال
    امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال در آنالیز ریاضی قلمرو واقعا گسترده ای دارد و فیزیکدانان و ریاضیدانان که اول بار این موضوع را ابداع کردند مسلما شگفت زده و شادمان می شدند اگر می دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل میکند.
    امروزه اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایشهای کلی اقتصادی استفاده می کنند. اقیانوس شناسان برای فرمول بندی نظریه هایی درباره جریانهای دریایی بهره میگیرند،و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو به کار میگیرند،دانشمندان علوم فضایی آن را برای طراحی موشکها به کار میبرند.روانشناسان از آن برای درک ثوهمات بصری استفاده می کنندو...
    به طور خلاصه حساب دیفرانسیل و انتگرال علمی است که درتمام علوم امروزی کاربرد بسزایی دارد.

    بزرگان این علم
    این علم عمدتا کار دانشمندان قرن هفدهم اسث. از میان این دانشمندان میتوان به رنه دکات ،کاوالیری،فرما
    و جیمز گرگوری اشاره کرد.
    پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن 18 با سرعت زیادی ادامه یافت، در زمره مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند میتوان به برادران برنولی اشاره کرد.در واقع خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ایفا کردند.
    تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضیدانان قرن 19 از جمله لوئی کوشی و کارل وایرشتراس بر عهده گرفتند.
    مطلب را با سخنی از جان فون نویمان که از ریاضیدانان بزرگ قرن بیستم است به پایان میبریم « حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است و درک اهمیت آن کار آسانی نیست. به عقیده من،این حساب روشنتر از هر مبحث دیگری مرحله آغازی ریاضیات نوین را توصیف می کند؛و نظام آنالیز ریاضی، که توسیع منطقی آن است،هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکر دقیق به شمار می آید.

     


    قضیه فیثاغورس
    ساعت ۱:٠٤ ‎ب.ظ روز ۱٩ بهمن ۱۳۸٤   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

     

    قضیه فیثاغورس



    در علم ریاضی، قضیه فیثاغورث، یک رابطه در فضای اقلیدسی بین اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را بیان میکند. اگر چه این قضیه قبل از آن که فیثاغورث آن را بیان کند توسط بابلیان و هندوها به کار برده می شد ولی به نام او ثبت گردید


    فرض کنید سه مربع روی اضلاع یک مثلث قائم الزاویه،که طول اضلاع قائم آن a وb و طول وتر آن c میباشد؛مطابق شکل زیر می سازیم


    این قضیه به ما توضیح میدهد که جمع مساحتهای دو مربع ساخته شده روی دو ضلع قائم یک مثلث قائم الزاویه با مساحت مربع ساخته شده روی وتر برابر است.

    مثلث قائم الزاویه مثلثی است که دارای یک زاویه قائم میباشد و به ضلعی که روبروی این زاویه در مثلث قرار دارد، وتر میگویند.
    در شکل اضلاع زاویه قائم با aوb و وتر با c نشان داده شده است.
    بیان دیگر قضیه به این صورت است که در یک مثلث قائم الزاویه مجموع مربعات دو ضلع قائم با مجذور وتر برابر است.

    قضیه

     

    جالب است بدانید که بیش از چهل روش هندسی برای اثبات این قضیه وجود دارد.


     

     

    می توان با توجه به شکل روبرو اثبات هندسی قضیه را به راحتی درک کرد.
    در هر دو شکل مربعی به ضلع a+b داریم.در شکل سمت راست چهار نمونه از مثلث قائم الزاویه دور مربع ساخته شده بروی وتر وجود دارد. و هر چهار مثلث دارای مساحت یکسان می باشند. با چند جابجایی در شکل سمت راست به شکل سمت چپ می رسیم.در این شکل همان چهار مثلث قبلی وجود دارند ولی مربعی که اضلاع آن به c بود به دو مربع به اضلاع a,b تبدیل شده است، که همان قضیه فیثاغورث را نشان میدهد







     




    شکل روبرو نیز نشان دهنده روش دیگری از اثبات هندسی می باشد:

    اثبات قضیه

     


    گراف
    ساعت ٦:٤۳ ‎ب.ظ روز ٢٠ دی ۱۳۸٤   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

     

    در ریاضیات و علوم کامپیوتر، همبندی یک گراف،یکی از مفاهیم اساسی نظریه گراف است و ارتباط نزدیکی با مفهوم مسیر دارد.

    یک گراف را همبند گوییم. اگر بتوان در امتداد یک دنباله از یالهای مجاور گراف، از هر راس دلخواه آن به هر راس دیگر رسید. تعریف همبندی برحسب گردشها به صورت زیر بیان می شود.

    فرض کنید G یک گراف باشد. دو راس v و w از گراف G را همبند گویند، اگر و فقط اگر یک گردش از V به W وجود داشته باشد. گراف G همبند است، اگر و فقط اگر برای هر دو راس دلخواه V و W در گراف G یک گردش از V به W وجود داشته باشد.


    اگر از تعریف بالا نقیض بگیرید. در می یابید که گراف G همبند نیست؛ اگر و فقط اگر دو راس در G وجود داشته باشد که به وسیله هیچ گردشی به هم متصل نشده باشند.

    مثال

    در شکل نمونه ای از گرافهای همبند و ناهمبند را می بینید.
    در گراف سمت راست چون گراف دو قسمت است در نتیجه بین همه راسها یک مسیر وجود ندارد.در نتیجه گراف ناهمبند است.

    img/daneshnameh_up/b/b4/hamband.gif



    چند موضوع مقید و قابل توجه با دورها و همبندی گرافها در زیر بیان میکنیم.
    فرض کنید G یک گراف باشد.
    الف. اگر G همبند باشد، آن گاه هر دو راس متمایز و دلخواه G را می توان به وسیله یک مسیر ساده به هم وصل کرد.
    ب. اگر راسهای v و w بخشی از یک دور در گراف G باشند و یک یال از این دور حذف شود، آن گاه همچنان یک مسیر از v به w در G وجود دارد.
    ج. اگر G همبند و شامل یک دور باشد، آن گاه یک یال دور را می توان بدون ناهمبند شدن G، حذف کرد.

    مولفه همبند

    گراف H یک مولفه همبند گراف G است اگر و فقط اگر
    1.H یک زیر گراف G باشد
    2.H همبند باشد
    3.هیچ زیر گراف همبندی از H ، G را به عنوان زیر گراف در برنگیرد و راسها یا یالهایی را شامل می شود که در H نیستند.
    به عبارت دیگر مولفه همبند یک گراف، یک زیر گراف همبند با بزرگترین اندازه ممکن است.در واقع هر گراف به یک نوع عبارت از اجتماع مولفه های همبند خود است.


    تابع
    ساعت ۱٠:۳۸ ‎ب.ظ روز ٦ آذر ۱۳۸٤   کلمات کلیدی: مفاهیم ریاضی

    تابع

    در ریاضیات، تابع رابطه ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعه ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه های ریاضی به حساب می آید.
    مفاهیم تابع، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می شوند.

    تعریف:


    تابع یک قاعده ای است که ورودیهایی را می گیرد و خروجیهایی را به ما پس می دهد. مثالهایی را ذکر می کنیم.

    • هر شخص دارای هشت رنگ مورد علاقه دارند (قرمز، نارنجی، زرد، سبز، آبی، بنفش، نیلی، صورتی) رنگ مورد علاقه یک تابع انسانی است. برای مثال علی رنگ قرمز را دوست دارد. در حالی که کیارش رنگ بنفش را دوست دارد.در اینجا، ورودی یک مشخص است ولی خروجی یکی از هشت رنگ است. باید به نکته توجه کرد که چند شخص می توانند یک رنگ را انتخاب کنند.
    • یک سنگ از طبقات مختلف یک ساختمان رها می شود. این سنگ در 2 ثانیه، 2 طبقه را پائین می رود و در 4 ثانیه، 8 طبقه را پایین می رود. در اینجا، طبقات به عنوان ورودی و تعداد ثانیه ها به عنوان خروجی به حساب می آیند.

    قاعده تعریف یک تابع می تواند به وسیله یک فرمول، رابطه و یا یک جدول ساده که ورودیها و خروجیها را در برابر هم قرار می دهد، باشد.
    در توابع، ورودیها به عنوان
    متغیر تابع و خروجیها به عنوان ارزش تابع شناخته می شوند.
    یک نمونه از توابع، توابعی است که رابطه متغیر تابع با ارزش تابع به صورت یک فرمول بیان می شود. و ارزش تابع از جایگزین متغیر در فرمول بدست می آید.